原子物理学习题解答第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。

散射物质是原子序数79Z =的金箔。

试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米 式中212K Mvα=是α粒子的功能。

1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+ ，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为710-米、密度为41.93210⨯3/公斤米的金箔。

试求所有散射在90οθ>的α粒子占全部入射粒子数的百分比。

已知金的原子量为197。

解：散射角在d θθθ+ 之间的α粒子数dn 与入射到箔上的总粒子数n 的比是：dnNtd nσ=其中单位体积中的金原子数：0//Au Au Nm N A ρρ==而散射角大于090的粒子数为：2'dndn nNt d ππσ=⎰=⎰所以有：2'dn Nt d nππσ=⎰22218002903cos122()()4sin 2AuN Ze t d A Mu οοθρπθθπε=⋅⋅⎰ 等式右边的积分：180180909033cos sin 2221sin sin 22d I d οοοοθθθθθ=⎰=⎰=故'22202012()()4Au N dn Ze t n A Mu ρππε=⋅⋅ 648.5108.510--≈⨯=⨯即速度为71.59710/⨯米秒的α粒子在金箔上散射，散射角大于90ο以上的粒子数大约是4008.510-⨯。

1.7试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。

根据量子化条件，πφ2hnmvr p ==可得：频率 21211222ma hma nh a v πππν===赫兹151058.6⨯=速度：61110188.2/2⨯===ma h a v νπ米/秒加速度：222122/10046.9//秒米⨯===a v r v w1.8 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为1E E E i -=∞，把氢原子的能级公式2/n Rhc E n -=代入，得：Rhc hc R E H i =∞-=)111(2=13.60电子伏特。

电离电势：60.13==eE V ii 伏特 第一激发能：20.1060.134343)2111(22=⨯==-=Rhc hc R E H i 电子伏特 第一激发电势：20.1011==eE V 伏特 1.9用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：)111(22nhcR E H -= 其中6.13=H hcR 电子伏特 2.10)211(6.1321=-⨯=E 电子伏特1.12)311(6.1322=-⨯=E 电子伏特8.12)411(6.1323=-⨯=E 电子伏特其中21E E 和小于12.5电子伏特，3E 大于12.5电子伏特。

可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。

跃迁时可能发出的光谱线的波长为：οοολλλλλλAR R A R R A R R HH HH H H 102598)3111(1121543)2111(1656536/5)3121(1322322221221==-===-===-=1.10试估算一次电离的氦离子+e H 、二次电离的锂离子+i L 的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。

a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：31,2132,1,10529177.0443,2,1,4410222012122220=======⨯==⋯⋯===++++++++-Li H H Li H H H He Z Z r r Z Z r r Z Li Z H Z H Z me h a n Z n a mZe n h r e径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中ππεππεb) 氢和类氢离子的能量公式：⋯⋯=⋅=-=3,2,1,)4(22212220242n nZ E h n Z me E πεπ 其中基态能量。

电子伏特，是氢原子的6.13)4(2220421-≈-=h me E πεπ电离能之比：900,4002222==--==--+++++HLi HLi HHeHHe ZZ E E Z Z E Ec)第一激发能之比：91121132341121122222122122122112122212212212211212=--=--=--=--E E E E E E E E E E E E E E E E H H Li Li H H He He d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：)11(~22221n n R Z v -=，⋯⋯=⋯⋯++=3,2,11112)2(),1({n n n n其中32042)4(2hme R πεπ=是里德伯常数。

氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：HH R v λ1)2111(~221=-=相应地，对类氢离子有：++++++=-==-=Li Li He He R v R v 12221122211)2111(3~1)2111(2~λλ因此，91,411111==+++HLi H H e λλλλ 1.11 试问二次电离的锂离子++i L 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子+e H 的电子电离掉？解：++i L 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：+e H 的电离能量为：LiHeHe Li He Li HeHe He M m M m R R hv hv hcR hcR v /1/1162716274)111(42++⋅===∞-=++++由于Li H e Li H e M m M m M M /1/1,+>+<所以，从而有+++>He Li hv hv ，所以能将+e H 的电子电离掉。

1.12 氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。

试问其巴耳末系的第一条（αH ）光谱线之间的波长差λ∆有多大？已知氢的里德伯常数17100967758.1-⨯=米H R ，氘的里德伯常数17100970742.1-⨯=米D R 。

解：)3121(122-=H HR λ，H H R 5/36=λ)3121(122-=D DR λ，D D R 5/36=λ ολλλAR R D H D H 79.1)11(536=-=-=∆1.13 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n 轨道，发射光子的频率n ν。

当n>>1时光子频率即为电子绕第n 玻尔轨道转动的频率。

证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的波数为：])1(11[1~22+-==n n R v n nλ 频率为：Rc n n n n n Rc cv n 2222)1(12])1(11[++=+-==λ当n>>时，有3422/2/2)1(/)12(n n n n nn =≈++，所以在n>>1时，氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n 轨道所发光子的频率为：3/2n Rc v n=。

设电子在第n 轨道上的转动频率为n f ，则3222222nRc mr P mr mvr r v f n ===πππ 因此，在n>>1时，有n n f v =由上可见，当n>>1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n 玻尔轨道转动的频率。

这说明，在n 很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。

第三章 碱金属原子3.1 已知Li 原子光谱主线系最长波长ολA 6707=，辅线系系限波长ολA 3519=∞。

求锂原子第一激发电势和电离电势。

解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。

辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。

设第一激发电势为1V ，电离电势为∞V ，则有：伏特。

伏特375.5)11(850.111=+=∴+===∴=∞∞∞∞λλλλλλe hc V chc h eV e hcV ch eV3.2 Na 原子的基态3S 。

已知其共振线波长为5893οA ，漫线系第一条的波长为8193οA ，基线系第一条的波长为18459οA ，主线系的系限波长为2413οA 。

试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值。

解：将上述波长依次记为οοοολλλλλλλλAA A A p f d p p f d p 2413,18459,8193,5893,,,,max max max max max max ====∞∞即容易看出：16max3416max3316max316310685.0110227.1110447.21110144.41~---∞-∞∞⨯=-=⨯=-=⨯=-=⨯===米米米米f D F d p D p P P P S T T T T T v T λλλλλ3.3 K 原子共振线波长7665οA ，主线系的系限波长为2858οA 。

已知K 原子的基态4S 。

试求4S 、4P 谱项的量子数修正项p s ∆∆,值各为多少？解：由题意知：PP s p p v T A A λλλοο/1~,2858,76654max ====∞∞ 由24)4(s RT S ∆-=，得：S k T R s 4/4=∆-设R R K ≈,则有max411,229.2P P P T s λλ-==∆∞与上类似764.1/44=-≈∆∞P T R p3.4 Li 原子的基态项2S 。