弹性力学关于应力变分法问题一、起源及发展1687年，Newton 在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli 提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler ，Lagrange 等人的努力，逐渐形成变分法。

古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。

现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。

讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse 理论与极小极大理论（Minimax Theory ）。

变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。

以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用（1）、应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。

命ij σ为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。

现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij δσ，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ij ij δσσ+ 假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。

即0,0,0x xy zx y yz xy z zx yz x y z y z x z x y δσδτδτδσδτδτδσδτδτ⎫∂∂∂++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂++=⎬∂∂∂⎪⎪∂∂∂++=⎪∂∂∂⎭。

（a ） 在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分x y zf f f δδδ、、。

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足,,x x y z xxy y z x y y z z x y z z l m n f m n l f n l m f δσδτδτδδσδτδτδδσδτδτδ⎫++=⎪⎪++=⎬⎪++=⎪⎭。

（b ）则应变余能的变分应为()ccC c x xyzv v V v dxdydz dxdydz δδδσστ∂∂=⎰⎰⎰=⎰⎰⎰+++∂∂。

x x c v εσ=∂∂，y y c v εσ=∂∂，z z c vεσ=∂∂ yz yz c v γτ=∂∂，zx zx c vγτ=∂∂，xy xyc v γτ=∂∂将上式代入，得()C x x yz yz V dxdydz δεδσγδτ=⎰⎰⎰+++。

再将几何方程代入，得[()]C x yz uw vV dxdydz xy zδδσδτ∂∂∂=⎰⎰⎰++++∂∂∂。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：(),x x x u dxdydz lu dS u dxdydz x xδσδσδσ∂∂⎰⎰⎰=⎰⎰-⎰⎰⎰∂∂ 最后可得[()][()]c x xy zx x xy zx V u l m n dS u dxdydz x y zδδδτδτδσδτδτ=⎰⎰+++-∂∂∂⎰⎰⎰+++∂∂∂。

再将（a ）、（b ）代入，即得=()c x y z V u f vf w f d S δδδδ⎰⎰++。

这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。

最小余能原理：c ()0x y z V u f v f w f dS δδδδ-⎰⎰++=。

上式也可以改写为：[()]0c x y z V u f v f w f dS δ-⎰⎰++=。

（2）、应力变分法由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：()()mmij m ij ij A ∑+=σσσ0 （c ）其中m A 是互不依赖的m 个系数，()0ij σ 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，()m ij σ是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。

这样，不论系数A m 如何取值，()0ij σ总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am 的变分来实现 。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得0=c v δ， 即：0=∂∂mcA V （d ）应变余能c V 是m A 的二次函数 ，因而方程（d ）将是Am 的一次方程 。

这样的方程共有m 个，恰好可以用来求解系数，Am 从而由表达式（c ）求得应力分量。

如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即()c x y z V u f v f w f dS δδδδ=⎰⎰++。

在这里，u 、v 、w 是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：,,x xy zx x y yz xy y z xz yz z f l m n f m n l f n l m δδσδτδτδδσδτδτδδσδτδτ⎫=++⎪⎪=++⎬⎪=++⎪⎭。

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：()m m x y z m u f v f w f dS B A δδδδ⎰⎰++=∑。

其中Bm 是常数，另一方面，我们有：*c =m m mU V A A δδ∂∂∑。

因而得：(1,2,)cm mV B m A ∂==∂。

这将仍然是m A 的一次方程而且总共有m 个 ，仍然可以用来求解系数m A ，从而由表达式（c ）求得应力。

（3）、应力函数方法由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。

在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。

将应力函数设为：0,m mmA Φ=Φ+Φ∑其中m A 为互不依赖的m 个系数。

这样就只需使0Φ给出的应力分量满足实际的应力边界条件，并使m Φ给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。

在平面应力问题中， 有0z yz zx σττ===， 而且x y xy σστ、、不随坐标z 而变。

在z 方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为2221[22(1)]2c x y x y xy V dxdy Eσσμσσμτ=⎰⎰+-++。

对于平面应变问题，2221+[(1)()22]2c x y x y xy V dxdy Eμμσσμσστ=⎰⎰-+-+。

如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量 ，应力分量x y xy σστ、、应当与μ无关 ，可以取μ=0， 于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达式都简化为2221(2)2c x y xy V dxdy Eσστ=⎰⎰++。

即得用应力函数表示应变余能的表达式222222221[()()2()]2c x y V f x f y dxdy E y x x y∂Φ∂Φ∂Φ=⎰⎰-+-+∂∂∂∂。

在应力边界问题中，因为面力不能有变分，0c V δ=。

应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数Am 的变分来实现的，所以上式归结为0cmV A ∂=∂ 将将应力函数表达式代入，即得2222222222[()()()()2()]0,(1,2,)x y m m m f x f y y A y x A x dxdy x y A x y m ∂Φ∂∂Φ∂Φ∂∂Φ⎰⎰-+-+∂∂∂∂∂∂∂Φ∂∂Φ=∂∂∂∂∂=可以用来决定系数Am ，从而确定应力函数ϕ，再由应力函数ϕ求得应力分量。

由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。

应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。

所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。

（4）、典型例题：例1：设有宽度为2a ，高度为b 的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束，上边的位移被给定为)1(022ax v u --==η，不计体力。

试求薄版的位移分量和应力分量。

解：取坐标系底部为x 轴，对称轴为y 轴，则该问题是一个轴对称问题——及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。

本题中，对称轴显然是y 轴。

这样，位移u,v 关于y 轴对称。

首先考察位移u ：薄板左右两边：0)(=±=a x u （说明u 中含有)(22a x -项或)(22x a -项） 薄板下边：0)(0==y u （说明u 中含有（y-0)项）薄板上边：0)(==b y u （说明u 中含有（y-b)项或(b-y)项）所以u 所以表达成：)()(221y b y x a A u --=（这里m=1,即取一个系数1A ） 由此可得u,v 的表达式为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--+--=--=)1()1()1()1()1(22122221b yb y a x B b y a x v a ya y a x a x A u η 可以满足位移边界条件：)1()(0)(0)(0)(0)(0)(2200ax v u v u v u by b y y y a x z x --==========±=±=η由于u 是x 的奇函数，v 是x 的偶函数，对称条件满足。

此外，由（i ）得：))(1())((2222122331by b y a x v b y b y a x a x u --=--=即)2()1(211112B vA B A v EabU ++-=由ds v f B Uds u f A U y x 1111,⎰⎰=∂∂=∂∂ab q B Uab q A U 2111,-=∂∂-=∂∂ ab q vA B v Eabab q vB A v Eab21121112)22()1(2)22()1(2-=+--=+-yE vq q v x E vq q u E vq q B E vq q A 1221121211,,--=--=--=--= 例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI ，求最大挠度值。

解：设)(3322x a x a w += 满足固定端的边界条件。

0,00'0====x x w w在不考虑剪切效应时，直杆弯曲的应变能为，dx dx w d EI dx EI x M u l 2220221)(21⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎰ 下面用最小势能原理来确定参数，xFL)()62(2)()62(2)(21332220323322200322L a L a F dx a a EI V U E L a L a F Fw v dx a a EIdx EI x M u l t L x ll+-+=+=+-=-=+==⎰⎰⎰=由最小势能原理0)62(12210)62(42103032220322t =-+=∂∂=-+=∂∂=⎰⎰FL dx a a EI a E FL dx a a EIa E E l t l t δ三、总结与思考所谓弹性力学的变分解法就是基于力学能量原理求解弹性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解的微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因而最终把问题归结为求解线性代数方程组。