线性代数习题及答案（北京邮电大学出版社 戴斌祥主）编习题一 （A 类）1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)...321； (4) 13 (2)1)(2n )(2n2)…2.【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n1)=(1)2n n ; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n2)…2)=0+1+…+(n1)+(n1)+(n2)+…+1+0=n (n1).2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。

解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意.所以j=3、k=6.3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。

解：D 4=1234()11223344(1)j j j j j j j j a a a a τ-由题意有：232,4.j j ==故1234141243243241j j j j j j ⎧==⎨⎩D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-即为：1122344313223441a a a a a a a a -+4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)6(1)(1)1τ-=-=所以该项带正号。

（2）324314516625a a a a a a解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-=所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式.(1)0200001030000004； (2)1230002030450001. （3）01000020001000n n -【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.（3）由题意知：12231,,11210n nn ij a a a n a n a -=⎧⎪=⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪=⎪⎩其余所以12()112233(2341)1223341,111(1)(1)(1)123(1)(231)1(1)!n j j j n j j j njn n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2) abac ae bdcdde bfcfef-------； (3)10011001101a b c d ---； (4)1234234134124123.【解】(1) 125062312101232562r r D+---=--;(2) 1114111111D abcdef abcdef --==------;21011111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d dd abcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.1041202220044101231114r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1) 22322()111a ab b a a b b a b +=-；(2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；(3) 232232232111()111a a a a bb ab bc ca b b c c c c =++ (4) 2000()000n n a ba b D ad bc c d cd==-； (5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)1323223()()()2()2001()()()()()2()21c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c cd d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c ==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc ++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)000000(),n n n n ab aba ba bD abc dc dc d c d d c ad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=- 2().n n D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑ 从而有11211211121111111111.n n n n n i i n n nn n i i i i i i D a a aa a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1) 111111n x xD x=(2) 122222222232222n D n=；(3)0000000000n x y x y D x y y x=. (4)2100012100012000002100012n D =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n1),得11111[(1)],11n x D x n x =+-将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n xDx n x n x x --=+-=+---(2) 213111222210000101001002010002n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.00200002n n =---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000(1)(1).n n n n n n n n xy y x y x y D xy x y x y yxx yx x y y x y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012n D ==+122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n n n na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11nii a=+∑，得232323123111111,11n nnn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑ 将第一行乘（1）后加到其余各行，得23111010011.001001nnnn i i i i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠=）.1111123222211223322221122331111123n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式. 3121232222312112123111131212311211111()().n nn n n n n n n n n n n j i n n j i n ij b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式D 中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D 的值。