k 1
收敛，则对每一对 i,j 常数项级数
a(k) ij
aij(1)
aij(2)
aij(k)
k 1
都是收敛的，于是矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
绝对收敛。 反之，若矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
绝对收敛，则对每一对 i,j 都有
a(k) ij
k 1
于是
mn
mn
1
e AB
I
1 2
(e2
1)( A
B)
e2
0
0
1
显然 eAeB,eBeA,eAB三者互不相等。
当 |z|<1 时，有
( 1 z ) 1 1 z z2 ( 1 )n zn
ln 1 ( z)z1z21z3 ( 1 )n 1zn
23
n
设 ACnn ，当 (A) R时，有
(I A ) 1 I A A 2 ( 1 )n A n
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A (k)A , lim B (k)B
k
k
则 lim a A (k ) b B (k ) a A b B , a ,b C k
（3）设 lim A (k)A , lim B (k)B，其中 A (k) C m l,B (k) C l n
k0
若 (A) R，则矩阵幂级数 c k A k 绝对收敛；若 (A) R
k0
，则 c k A k 发散。
k0
证明 其中
于是
设A的Jordan标准形为
J d i a g ( J 1 (1 ) ,J 2 (2 ) ,,J r (r ) )
i 1
Ji
(i )
i
(i 1,2, ,r) 1
sin A(B)1(ej(AB)ej(AB)) 2j
1 (ejAejBejAejB) 2j
1(ejAejA)e(jBejB)1(ejAejA)e(jBejB)
4j
4j
sA ic nB o c sA o sB s in
同样可以证明其余的结论。
注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
证明： （2） a ( k ) A b ( k ) B a b A B a A ( k ) A b B ( k ) B 0 （3） A (k )B (k ) A B A (k )B (k ) A (k )B A (k )B AB
A (k ) A A B (k ) B A (k ) A B A ( k ) A B ( k ) B A B ( k ) B A ( k ) A B 0
A(k) A
定理 矩阵序列{ A ( k ) } 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k ) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
limA(k)
k
A[aij]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lki m aij(k) aij 0 (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)
1
(A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k2 k k2 2
显然每一个 A(k)(k1,2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A limA(k) 3
1
例：设
A10
01,B10
1 0
那么容易计算
A A 2 A 3,B B 2 B 3
并且 于是有

B
2 0
0 0
(AB)k 2k1(AB),
k 1
eA
I
(e
1) A
e 0
1 e 1
eB
I
(e
1)B
e 0
e 1 1
故有
e AeB
e2
0
(e 1)2
1
eBe A
e2
0
(e 1)2
证明：首先证明第一个等式
eA eB(IA 1A 2 1A k )
2 !
k!
(IB1B2 1Bk )
2!
k!
I (A B )1(A 2A B B A B 2) 2 ! 1(A33A2B3A2B B3) 3!
I (A B ) 1 (A B )2 1(A B )k
2 !
k !
现在证明第二个等式
例 如果设 A(k) (aikj)22C22，其中
a (k) 11 k1
k1
1, k(k1)
a (k) 12 k1
k1
1 k3
a (k) 21 k1
k1
2k
,
a (k) 22 k1
k1sin2k
那么矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
定理 设 A(k)(aikj)m nCm n，则矩阵级数
A k
a(k) ij
a(k) ij
k 1
k 1i 1j 1
i 1j 1k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义 设 A(k) (aikj)mnCnn，称形如
ckA kc0Ic1Ac2A 2 ckA k
k0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理 设幂级数 c k x k 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。
从而有 上式即为
mn
lim
k i1
a (k) ij
aij
j1
0
lim A(k) A 0
k
mn
充分性：设 lki m A(k)Alki m i1j1aij(k)aij 0
那么对每一对 i, j 都有
lki m aij(k) aij 0
(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)
即
lki maij(k) aij
（4） P ( k ) Q A P A P ( A ( k Q ) A ) Q P A ( k ) A Q 0
（5）
A 1A 1 (A (k ) A ) A 1 (A (k )) 1A 1 [A (A (k ) A ) 1 ]
1 A 1 (A (k ) A )
A1 2 A(k) A
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k)(aikj)m nCm n，如果mn个常数项级数
aij(k), i1,2, ,m ;j1,2, ,n
k1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
收敛。如果mn个常数项级数
aij(k), i1,2, ,m ;j1,2, ,n
k1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
ck
c1 k1 ki
k0
ckik
k0
didi
当 (A) R时，幂级数
ck ik, ckc1 k ik 1, , ckck di 1ikdi 1
k 0
k 0
k 0
都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 c k A k 绝对收敛。
k0
当(A) R 时，幂级数 c k i k 发散，所以 c k A k 发散。
k0
k0
推论 矩阵幂级数
I A A 2 A k 绝对收敛的充分必要条件是 ( A) 1。且其和 (I A)1 。
例1 （1）求下面级数的收敛半径
k 12k xkk2 x 122 x222x 333 2k xkk
（2）设
A
1 1
4 3
A k
判断矩阵幂级数 k 1 2 k k 的敛散性。
c di1 kdi1 ki
c1 k1 ki ik
didi
ckl
k(k1)
(kl 1)(当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lkimJik(i) 0 的充要条件是 i 1 。 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 C n n 的相容矩阵范数，则对任意 ACnn ，都
定理：设 A,BCnn，那么当 ABBA时，我们有
(1) eAB eAeB eBeA (2) sin(A B) sin AcosB cos Asin A (3) sin2A 2sin Acos A (4) cos(A B) cos Acos B sin Asin B (5) cos2A cos2 Asin2 A
时，我们将收敛的矩阵幂级数
ck Ak
k0
的和定义为矩阵函数，一般记为 f(A)，即
f (A) ck Ak k0
例：因为当 |z|<+∞时，有
ez1z1z2 1zn
2!
n!
sizn z1z3 ( 1 )n 1 z2n 1
3 !
(2n 1 )!
coz s11z2 (1)n 1 z2n
2!
(2n)!
解 设此级数的收敛半径为R，利用公式 lim a k 1 1 容易
求得此级数的收敛半径为2。而
(
A)
a k k
R
1。所以由上面的定理
可知矩阵幂级数收敛。
矩阵函数
定义：设 ACnn，一元函数 f(z) 能够展开成关于 z 的幂级数
f(z) ckzk (|z|R) k0
并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵 A 的谱半径 (A) R