n
为简单起见，以后我们用Tx代替T (x).
下面我们着手研究线性变换和矩阵的关系。
设V是数域P上的n维线性空间，T是V的一个线性变换。现取定
V的一组基e ,e , ,e ，则每个Te 都是V中向量(i 1,2, , n)，故可设：
12
n
i

Te 1
a e a e
11 1
21 2
a e n1 n
k 1
k 1
(3)线性变换把线性相关向 量组变成线性相关向量 组.
5线性变换的概念
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
运算性质
（1）T1 T2T3 ＝T1T2 T3
（2）加法满足交换律和结合 律 （3）乘法对加法的分配律
（4）T O T ,T T O (5) T T
第一章 线性空间与线性变换
如果V V1 V2,且e1, e2, , em与em1, , en分别是V1与V2 的一组基，则向量组 e1, e2, , em , em1, , en (1) 构成V的一组基。由于V1,V2对T不变，所以有 Te1 a11e1 am1em Tem a1me1 ammem Tem1 am1.m1e1 an.m1en Ten am1.nem1 an.nen
第一章 线性空间与线性变换
同构与同构映射
两个线性空间V与V 之间若有一个对应关系记为，使得 (x y)= (x) ( y); ( x) (x)
就称为从V到V的同构映射，称线性空间V与V 是同构的。
同构的基本性质
( ) , (x) (x),
Te2
a e a e
12 1
22 2


ae n2 n (3)
Ten
a e a e
1n 1
2n 2
a e nn n
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
我们把这n个向量等式缩写为如下形式：
n
Te i


a ki
e k
k 1
(i 1,2, , n)(a P). ki
x y Vi , i 1,2
又 P, x W
x Vi
x W
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
V1 a b 0 0 a,b R V2 0 0 c 0 c R V3 0 d e 0 a,b R
四维空间中 的三个子空 间
零子空间
由单个的零向量组成的子集 零维
平凡子空间 线性空间 V 本身 n 维
子空间之例
W x x y z, 任意, P, 给定y, z V
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
设V1和V2为V的子空间，有以下结果
交集W V1 I V2 x x V1, x V2 , 也是子空间；
基下向量
n
x iei i 1 n
x iei i 1
过渡矩阵或称变换矩阵
a11 a12 L a1n
A a21 a22 L
a2n

M M O M
an1 an2 L
ann

第一章 线性空间与线性变换
坐标之间的关系 坐标变换
1 a11 a12 L
其关系为
e1 a11e1 a21e2 L an1en e2 a12e1 a22e2 L an2en
M en a1ne1 a2ne2 L annen
也可写成
n
ei akiek , i 1, 2,L , n k 1
2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 I V ) 若是直和，则有
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
子空间的交集 W V1 V2 是子空间
零向量属于W
任取 x, y W，则 x, y Vi ，所以
单位变换 V中每个向量 映射自身
单位变换 V中每个向量 映射自身
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
举例
对每个x 1,2 ,3,4 R4 ,由等式 T x 1 2 33 4 ,31 2 33 44 ,0,0
T T T T1 T2 T1 T2
1T T
第一章 线性空间与线性变换
逆变换
TS ST I
象子空间 T V Tv / v V
秩
T V 的维数
核（ker nel） K v V / Tv
维数关系 dimT V dimT 1V n
把矩阵

a 11
a 12

A


a 21
a 22



a n1
a n2

a 1n

a 2
n


a nn

称为线性变换T在基e ,e e 下的矩阵.
12
n
定理2 数域P上n维线性空间V的所有线性变换构成的
线性空间L(V )，在取定V的一组基之下，它与数域P上
的一切n n矩阵所构成的线性空间Pnn是同构的。
n

1
1
2


A1
2

2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
子空间 就是线性空间的子集，但得自成线性空间。
如何判断 W 是 V 的子空间？
准则： x, y W x y W ; x W , P x W
负数负元素 (1)x x; 减法运算 x y x ( y)
零向量唯一 负元素唯一
第一章 线性空间与线性变换
线性空间之例
V 1,2,L ,n i P
记为 Pn
V A
A
aij
,
nm
aij
P
记为 Pnm
V f (t) f (t) R, t [a, b] 记为 L[a,b]
2



a21
a22
L
M M M O

n


an1
an 2
L
a1n 1
a2n

2

M M
ann

n

1 1
2


A
2

M M
n


6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
不变子空间的定义：
设T是线性空间V的一个线性变换，又W是V的一个子空间。 若对任一x W ,都有Tx W ,即T (W ) W , 则称W是T的不变子空间， 也说成是子空间W对线性变换T是不变的。
零空间及V本身都是T的不变子空间。
7 不变子空间
于逆矩阵。
定理4 设V是数域P上n维线性空间，e ,e , ,e 及
12
n
e ,e , ,e 是V的两组基，从前一组基到后一组基的
12
n
过渡矩阵是C。又设T是V的一个线性变换，它在前后
两组基下的矩阵分别是A与B，则有B C 1 AC
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定义1 若A, B Pnn ,如果存在可逆矩阵C Pnn ,使得 B C 1 AC 则称矩阵A相似于矩阵B。 由定义易知，矩阵的相似关系是等价关系，即相似具有 下述三个性质： 1）自反性：A相似于A 2）对称性：若A相似于B，则B相似于A 3）传递性：若A相似于B，且B相似于C，则A相似于C。
W1 V1 V2
W2 V1 V3 0 p 0 0 p R W3 V1 V3 a q e 0 a, q, e R
W4 V1 V2 V1 V2 a b c 0 a, b, c R
3 子空间与维数定理
推论 dim L(V) dim Pnn n2
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定理3 设e ,e , ,e 是数域P上n线性空间V的一组基，
12
n
在这组基下按照式(3)建立的线性变换同矩阵的对应
关系，则有：
1）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
2）可逆线性变换对应的矩阵也可逆，且逆变换对应
m
m
i xi i (xi )
i 1
i 1
线性无关组同构影射到线性无关组 n维空间同构影射到n维空间
4 线性空间的同构
第一章 线性空间与线性变换
线性变换
T 满足 T x y T x T y; T x T x
零变换
V中每个向量 映射 零向量
如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数 域 P上的线性空间或向量空间。 元素称为向量。
任意 , P, 任意 x, y, z V , 及零元素 V
1 线性空间的概念
八条规则
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
附带性质 零与零元素 0x ; 数与零元素 ;
V 作用在某质点的力
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空间 （向量空间）
xy
x y
x, y, z,z... 力向量
x
R 实数域
z
x
z
满足八条规则