1
(sk)nm
snm
n
1 pj m zi snm1
j1
i1
1 Kg
25
4.2 根轨迹的绘制法则
令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的 交点
n
m
pj zi
k
j1
i1
nm
由于 p j 和 z i 是实数或共轭复数，故 k 必为实数， 因此渐近线交点总在实轴上。
26
4.2 根轨迹的绘制法则
(s) G(s) 1G(s)H(s)
G k(s)G (s)H (s)
8
根轨迹基本概念
闭环特征方程： 1Gk(s)0
将Gk (s) 写成以下标准型，得：
m
kg
传递系数， 或称为根轨迹增益
(s zi )
Gk (s) kg
i 1 n
(s pj)
j 1
m
满足： G k ( s ) 1 或
(s zi )
似分析系统的性能。
3
根轨迹意义
概述
线性定常系统的动态性能主要取决于闭环系统特 征方程的根（闭环极点），所以，控制系统的动态 设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增 益是改变闭环极点的常用办法，设计时可以每调整 一次增益求解一次特征方程。
W.R.伊文思提出了根轨迹法。它不直接求解特征 方程，而是用图解法来确定系统的闭环特征根。
特征方程 劳斯表
F (s) s3 3 s2 2 s 2 K K 0
s3
1
2
s2
3
2K K
s1 2 2KK
3
s0
2K K
34
劳斯表中某一行元素为零，则表示在复平面内存在一些 大小相等符号相反的实跟或共轭虚根。大小相等符号 相反的实跟或共轭虚根可由辅助方程求出。辅助方程 的阶数总是偶数，并且等于符号相反的实跟或共轭虚 根的个数。
11
4.2 根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹图的方法
手工画概略图（草图） 手工图解加计算画准确图
计算机绘制精确图
我们先以根轨迹增益 来讨论根轨迹。
k
g
（当然也可以用其它变量）作为变化量
绘制根轨迹的一般步骤：
（1）求出 Kg 0和 Kg 时的特征根
（2）根据绘制法则大致画出 0Kg 时的根轨迹草图
（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制 12
1
| (s pj ) |
j 1
幅值条件
m
n
(s zi ) (s p j ) ±(2k 1)p , k 0,1,2... 辐角条件
i1
j 1
满足幅值条件和辐角条件的s 值，就是特征方程式的根。
10
为了尽快把握绘制根轨迹的要领， 请牢记： 绘 制 根 轨 迹 ---- 依 据 的 是 开 环 零 极 点分布，遵循的是不变的辐角条件， 画出的是闭环极点的轨迹。
W K(s)s(s1 )K (0 K .5s1 )s(s 2 1 K )(K s2)
试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。 解
方法（1） 根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为
F (s) s3 3 s2 2 s 2 K K 0
假设KK Kl 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中 s j
32
第4章 根轨迹法
1
第4章 根轨迹法
主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性 小结
2
第4章 根轨迹法
学习重点
❖ 了解根轨迹的基本特性和相关概念； ❖ 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根
轨迹的分类原则； ❖ 掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练
地应用到根轨迹的绘制过程中； ❖ 学会应用主导极点、偶极子等概念近
30
4.2 根轨迹的绘制法则
8．根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 s j，此时系
统处于临界稳定状态，令此时的 K g Kl 。由此可计算对应的 临界放大系数 K l 值。
确定交点的方法：
（1）把 s j代入特征方程式；
（2）利用劳斯判据。31来自4.2 根轨迹的绘制法则
例4-5 设有开环传递函数为
Np Nz 5
j
C
B
A
18
4.2 根轨迹的绘制法则
5． 分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（或会合点）。
在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点， b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。
b
a
19
4.2 根轨迹的绘制法则
分离点（会合点）的坐标s d 由下列方程所决定
实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，其中任 一段右侧，如果开环零、极点数目的总和为奇数，那么该段就 一定是根轨迹的一部分。
2
j
×p 2
3 0 4× 0
z3 p4
▽ s0
2 p
z2
1 p 1 p
×p1
z1
3
×p 3
16
4.2 根轨迹的绘制法则
证明：设 N z为实轴上根轨迹右侧的开环有限零 点数目， N 为p 实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，
应是奇数。
38
4.2 根轨迹的绘制法则
（5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 D '(s )N (s ) N '(s )D (s ) 0
（6）根轨迹的渐近线。
渐近线的倾角 18 o(1 02)
nm
渐近线交点
n
m
pj zi
k
j1
i1
nm
(0 ,1 ,2 , )
39
4.2 根轨迹的绘制法则
例4-3 设开环传递函数为
WK(s)s(s1K)g(s4)
试确定其根轨迹渐近线。 解 （1）计算渐近线倾角。
因为m=0, n=3, 所以可得渐近线倾角为
1 8 0 o ( 1 2)1 8 0 o ( 1 2) 6 0 o ,6 0 o ,1 8 0 o n m 3 0
27
4.2 根轨迹的绘制法则
（2）计算渐近线交点。
因为 p00,p11,p24; n=3, m=0； 所以渐近线交点为
n
m
k
pj zi
j1
i1
nm
1405 30 3
k
28
4.2 根轨迹的绘制法则
7． 根轨迹的出射角和入射角
▪ 出射角 sc ：根轨迹从某个开环极点出发时的切 线与实轴的夹角。
▪ 入射角 s r ：根轨迹某个开环零点的切线与实轴 的夹角。
nm
(0 ,1 ,2 , )
独立的渐近线只有（n-m）条 24
4.2 根轨迹的绘制法则
（2）渐近线的交点 k
由幅值条件
m
m
m
N(s) D(s)
(szi) sm zism1 zi
i1 n
i1 n
i1 n
(spj) sn pjsn1 pj
1 Kg
j1
j1
j1
当 ssk 时，zi pj k，即得
s3
1
2
s2
3
2K K
s1 2 2KK
3
s0
2K K
35
4.2 根轨迹的绘制法则
在第一列中，令 s 1 行等于零，则得临界放大系数 KK Kl 3
根轨迹与虚轴的交点可根据 s 2 行的辅助方程求得，即
3s2 2KK 0
令上式中 K K 3 ，即得根轨迹与虚轴的交点为
sj 2
36
4.2 根轨迹的绘制法则
R(s) -
闭环传递函数： (s)s222sK2K
特征方程为： s22s2K0 特征根为： s1,21 12K
K
C(s)
s(0.5s 1)
6
特征根为： s1,21 12K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1
整理得
1WK(s)
1Kg
N(s) D(s)
0
[1WK(s)] KgN(s)D(s) 0
D '(s )N (s ) N '(s )D (s ) 0
20
4.2 根轨迹的绘制法则
说明：
用分离点方程式求解后，需将所求结果代入 特征方程式中验算。只有当与之对应的 K g 值为正 值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。
4
根轨迹意义
概述
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数 变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化 的轨迹。
利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合
5
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹定义
例：如图所示二阶系统，
系统开环传递函数为：
Gk(s)
K s(0.5s1)
无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近 线，由与实轴的夹角和交点来确定。
23
4.2 根轨迹的绘制法则
（1）渐近线的倾角
无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点
的矢量辐角都相等，均为 ，即
代入辐角条件得
i j
m
n
i j m n 18012
i 1
j 1
即渐近线的倾角为
18 o(1 02)
4.2 根轨迹的绘制法则
则得 F (j) 2 K l 32 j( 23 ) 0
亦即
2K
2
l 3 2 3
0
0
解得： 0 ，K K 0 ，对应根轨迹的起点； 2 ，K K 3 ，对应根轨迹与虚轴相交。