1.5《三角函数的应用》教学设计一、教材地位和作用本节是九年级下册第一章的第5节，是学习了解直角三角形后的一节，本节重在利用解直角三角形而解决实际问题，用数学方法解决实际问题，发展了学生的数学应用意识。
这也可以说是本章的精华部分，是所学知识的升华。
二、教学目标1、知识技能目标：能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.。
2、情感态度目标：（1）通过生活中的实际问题培养学生的数学兴趣和数学应用意识，通过小组合作交流和积极展示，培养学生的合作意识和竞争意识和团队意识。
（2）、通过计算培养学生的严谨认真的求学精神和求真务实的科学态度。
三、教学重难点【重点】体会三角函数在解决问题过程中的作用；发展学生数学应用意识和解决问题的能力.【难点】根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.并能根据题意选择恰当的三角函数列出关系式。
四、教法与学法分析教法：指导、启发、演示、探究、讨论学法：自主、合作、探究、合作交流五、教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了解直角三角形，假如给定了直角三角形中的一个锐角和一条边，我们就可以利用三角函数或勾股定理求出其他的边，当给定了直角三角形中任意两条边，我们依然可利用三角函数求出它的角和其他的边。
在我们现实生活中应用较为广泛。
.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗) Ⅱ.讲授新课[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?[生]应该是“上北下南，左西右东”.[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.[师]有何联系呢?BD，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°[生]在Rt△ABD中，tan55°＝ADCD，CD＝ADtan25°.＝AD[生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.下面我们一起完整地将这个题做完.[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，20≈20.79(海里).AD=55tantan︒-︒25这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.[师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)[生]首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，在Rt △ADC 中，tan30°=AC CD ， 即AC ＝︒30tan CD 在Rt △BDC 中，tan60°=BCCD , 即BC ＝︒60tan CD ，又∵AB=AC-BC ＝50 m ，得 ︒30tan CD -︒60tan CD =50. 解得CD≈43(m)，即塔CD 的高度约为43 m.[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD 的高度时应考虑小明的身高.[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m ，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?[生]示意图如右图所示，由前面的解答过程可知CC′≈43 m ，则CD ＝43+1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)[生]在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画㈩示意图(如右图).其中AB 表示楼梯的高度.AC 是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB 是原楼梯的倾角，∠ADB 是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：如图，AB ⊥DB ，∠ACB ＝40°，∠ADB ＝35°，AC ＝4m.求AD-AC 及DC 的长度.[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧![生]解：由条件可知，在Rt △ABC 中,sin40°＝ACAB ，即AB ＝4sin40°m ，原楼梯占地长BC ＝4cos40°m.调整后,在Rt △ADB 中，sin35°＝AD AB ，则AD ＝︒︒=︒35sin 40sin 435sin AB m.楼梯占地长DB=︒︒35tan 40sin 4m.∴调整后楼梯加长AD-AC ＝︒︒35sin 40sin 4-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC ＝DB-BC=︒︒35tan 40sin 4 -4cos40°≈0.61(m). Ⅲ.随堂练习1.如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5 m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少?解：在Rt △CBD 中，∠CDB=40°，DB=5 m ，sin40°= DBBC ，BC=DBsin40°=5sin40°(m). 在Rt △EDB 中，DB=5 m ，BE=BC+EC ＝2+5sin40°(m).根据勾股定理，得DE=2222)40sin 52(5︒++=+BE DB ≈7.96(m).所以钢缆ED 的长度为7.96 m.2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD＝6 m ，坡长CD ＝8 m.坡底BC ＝30 m ，∠ADC=135°.(1)求∠ABC 的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m 3) 解：过A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足.(1)在梯形ABCD 中.∠ADC ＝135°，∴∠FDC ＝45°，EF ＝AD=6 m.在Rt △FDC 中，DC ＝8 m.DF ＝FC ＝CD.sin45°=42 (m).∴BE=BC-CF-EF=30-42-6=24-42(m).在Rt △AEB 中，AE ＝DF=42 (m). tanABC ＝262242424-=-=BE AE ≈0.308.∴∠ABC≈17°8′21″.(2)梯形ABCD 的面积S ＝21(AD+BC)×AE= 21(6+30)×4 2=722 (m 2). 坝长为100 m ，那么建筑这个大坝共需土石料100×722 ≈10182.34(m 3). 综上所述，∠ABC ＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m 3土石料. Ⅳ.课时小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.Ⅴ.课后作业习题1.5第1、2、3题.Ⅵ.活动与探究如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，3 ≈1.7)[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.[结果](1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D.依题意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD= 21AB=21×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响.(2)以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得DE=120.AD=1603. AE=AD-DE=1603 -120，∴401203160 =3.8(小时).因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.。