t · E ~ ħ
电子经过缝时的位置 b ph y 不确定: x b o 一级暗纹衍射角为: sin b 电子经过缝后，x 方向动量不确定: h p x p sin p xpx h b x

V
( x、y、z、t ) dV 1
2

则: V
V
( x、y、z、t ) dV C
2
2
1 ( x、y、z、t ) dV 1 C
所以: 1 / C ----归一化常数
例题: 若一个电子的概率幅为
A sin x ，0 x a ( x ) a 0， x 0或 x a
定态薛定谔方程
d U E 一维: 2 2 dx
2 2
2 2 三维: U E 2
用薛定谔方程研究氢原子，求得的氢原子能级是分 立的，可以很好地解释氢原子的光谱。用薛定谔方程求解 线性谐振子的问题，得到线性谐振子的能级也是分立的。 这与经典粒子的能量连续是截然不同的物理图像，称为能 量的量子化，是微观世界普遍而重要的特征。
1
2
2
只打开第一个缝，屏上的衍射条纹分布: 2 只打开第二个缝，屏上的衍射条纹分布: 2 2 2 2 同时打开，对于经典的粒子: 1 2 对于具有波动性的微观粒子:
* 1 2 1 2 1*2 12 2 2 2 2
概率幅的性质 1. 概率密度 若三维空间的概率幅为 ( x、y、z、t ) ，则粒 子在V~V +dV空间出现概率为:
一、德布罗意波 德布罗意假设: 实物粒子具有波粒二象性
描述波动性的物理量:、 描述粒子性的物理量: E、 p
E h 基本关系式为: h p
二、概率波 基本假设之一 1926年玻恩提出波函数的概率诠释: 我们用波 2 函数 ( x，t ) 来描述德布洛意波，则 ( x，t ) 正比于 粒子在该处出现的概率。 德布洛意波----概率波 波函数( x，t ) ----概率幅 量子力学基本假设之一 微观粒子体系的状态，完全由波函数 ( x，t ) 来描写，波函数 ( x，t ) 也称为概率幅。t 时刻，在 2 x ~ x dx范围内找到粒子的概率正比于 ( x，t ) dx。
同年，玻尔更进一步提出互补原理，认为“观测” 将不可避免地干扰“观测对象”。经典的决定论的因果律 在量子系统中不再成立，我们只能了解粒子出现的概率， 不能确定某个粒子是否一定出现。玻尔把玻恩、海森堡的 观点提高到哲学的高度，这就是量子 力学的统计解释或几率解释。
电子的双缝干涉实验
1
P1 P2
2
哥本哈根学派对量子 力学的上述解释，遭到 爱因斯坦、德布罗意、薛 定谔等人猛烈的攻击。他 们无论如何也不相信，人 们只能知道粒子出现的几 率，而不可能知道粒子是 否一定会出现。爱因斯坦 说了一句名言：“上帝是不掷骰子的”。哥本哈根学派的 人则反问：“谁告诉爱因斯坦，上帝不掷骰子？” 他 们还嘲讽薛定谔，说：“看来薛定谔方程比薛定谔本人 更聪明”。
考虑所有衍射次级有: xpx h
x
1 x p x 2 1 量子力学精确计算: yp y 2 1 z p z 2
----不确定性关系
粒子的位置和动量 不能同时确定。位置越 精确, 即x 越小，将使 得动量越不确定，即 P 越大。相反，粒子的 动量越确定，即P 越 小，则x 越大，即位置 越不确定。
d i f Et i dt E df i Edt f Ce f f
则粒子波函数为:
( x，y，z，t） ( x，y，z ) e
i
Et
这个波函数与时间的关系是正弦式的， 其角频率是ω=Ε/ħ按照德布罗意关系E=hν=ħω， E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。
由于测不准关系的存在，电子 的位置和动量（速度）不可能同时 精确确定，因此电子没有轨道，玻 尔的轨道模型应该修改。能量量子 化对应的不是电子轨道，那么对应 的是什么呢？研究表明，原子核外 的电子虽然没有轨道，但也有一定 的分布规律，它们以几率波的形式 分布在核外空间，呈现为“电子云”。
电子云
能量量子化的不同“能级”，对应的不是“轨 道”，而是不同的“电子云”状态。“能量量子化”是从 量子力学自然导出的结论，而不像“轨道量子化”那样， 是玻尔强加在经典力学上 的一个不自然的限制。正 如量子力学可以看作玻尔 模型的发展一样，“能量 量子化”也可以看作“轨 道量子化”的发展。
氢原子
二、势阱 1. 无限深方势阱及能量本征值
0， 0 x a U ( x) ， x 0，x a
U U U 0 U
0
O
0
x
解: 定态问题，满足定态薛定谔方程，则: 2 2 d ( x) E ( x )， 0 x a 2 2 dx 粒子能量 E Ek 0 2 d ( x) 2 2 k ( x) 0 令 k 2E / ，则: 2
dx
d ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
2
A sinkx B coskx
通解: A sinkx B coskx 波函数 连续，则: (0) 0， (a ) 0
(0) A sin0 B cos0 0 B 0 (a ) A sinka 0 n 由此可得: k ，n 1、 2、 3、 a n x 所以: ( x ) A sin a a 2 2 2 n 归一化: ( x ) dx A sin x dx 1 0 a 解得: A 2 / a
三、决定性和统计性 r 、动 力学量 : 在经典力学中我们讨论的位置 量 p 、能量E、角动量 L 等物理量。 经典力学----状态可以用力学量的值完全确定 下来----决定性的规律 量子力学----状态用某个力学量取各种可能值 的概率，即它的概率分布来确定----统计性的规律 2 量子力学中， 代表了x 的概率分布，所以可 用来确定量子状态，因此又把称为态函数。
引入拉普拉斯算符
2 2 2
2 2 2 x y z
2
则:
2 2 U i 2 t
一维的自由粒子的波函数 平面简谐波的波函数为:
2 ( x，t ) A cos x 2t 2 2 ( x，t ) A cos px x Et h h
对于量子力学物理解 释的争论，至今尚未结 束，似乎哥本哈根学派的 观点略占上风，但反对意 见依然存在，进入21世纪 之后，“多世界理论”、 “隐变量”、“退相干”、 “多历史”、“自发局域 化”等诸多流派仍在对哥 本哈根学派提出挑战。
哥廷根
量子力学的基本假设之二 微观低速(非相对论性)体系的波函数满足薛 定谔方程 一维薛定谔方程:
2 2 ( x，t ) ( x，t ) U ( x，t )( x，t ) i 2 2 x t
2
三维薛定谔方程:
2 2 2 2 2 U ( x，y，z，t ) i 2 2 x y z t
dw ( x、y、z、t ) dV
2
有限大体积V 中粒子出现的概率为:
w ( x、y、z、t ) dV
2 V
因而 ( x、y、z、t ) 称为概率密度。 概率幅应单值、有限和连续 ----标准条件
2
2. 归一化 粒子在全空间V中出现的概率应为1，则: ----归一化条件 若概率幅没有归一化，即:
i p x x Et
px
再次运算:
2 ( x，t ) 2 2 i i p x 2 x x x
2 2 2 px 将上式除以2 ，得: 2 2 x 2
粒子的质量
将波函数对 t求导，并乘以 i :
在经典力学中，粒子能量关系式为 : 2
px E Ek U U 2 做替换: p x i ，E i x t
作用在波函数上得薛定谔方程:
2 2 ( x，t ) ( x，t ) U ( x，t )( x，t ) i 2 2 x t
三维薛定谔方程:
2 2 U i 2 t
一、定态问题 当薛定谔方程中U与时间无关只是坐标的函 数的情况称为定态问题。 分离变量法
( x，y，z，t） ( x，y，z ) f (t )
2
代入薛定谔方程为:
2 ( f ) U f i ( f ) 2 t 等式两边同除 f 得: 2 2 ( f ) U f i ( f ) 2 t f f
求归一化常数A的值。 解: 若A是归一化常数，则在全空间粒子出现 概率为1，则:
( x) dx 0 ( x) dx A 0 sin a 2 2 a A 1 A 2 a
2 a 2 2 a 2
x dx 1
不确定性关系简介 1927年海森堡进一步提出 测不准关系 （或者称为不确定关系） x · P ~ ħ
整理得:
2 2 U 2

d i f dt f
等式恒成立条件同等于一个常量
2 2 2 U E --------① d i f dt E ------------② f
由②式可得:
e^ix=cosx+isinx
量子态叠加原理 是体系的可能状态，它们的 如果 1、2、3、 线性叠加 C11 C22 C33 Cnn 也是体系 n 是复常数。 的一个可能状态。其中 C1、C2、C3、 ----量子态叠加原理
用电子的双缝干涉实验说明量子态叠加原理