数学建模数模作业（第一章）P21第一章6、利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由1.5节中的药物中毒施救模型可知:在胃肠道中药物的量为.1381()t x t A e -=，而在血液系统中药物的量为0.11550.13861()6()t t y t A e e --=-，再令0.11551()()/6()t ty t y t A e e--==-再做出()y t 的图像如下：由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。

于是可以去求这个最小剂量。

由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。

求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。

于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。

而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的51015200.010.020.030.040.050.06最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。

7、对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。

解：由题可算得：t=0:2:20y=275*exp(-0.1386*t)+112.3*exp(-0.6930*t) plot(t,y,'b:')第二章3、根据2.5节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。

解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23y=[150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,290.52,281.16,248.40,210.24,186.84] x1=0:0.01:23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold onplot(h,y,x1,'b.')0246810121416182050100150200250300350400051015202550100150200250300350另一方面由(1)()()c t c t f t g +=+-，经过转化(1)()()lim ()1c t c t c t f t g +-'≈=-，从而即可转为000()()(),()()tt c t f x dx g t t f x f t t =--⎰是的插值函数，是某个初始时刻。

又因为要求出均流池的最大容量max ()c t ，就要令()=0c t '，即().f t g =从中求出时间t 的值，再去求max ()c t 。

从书中可知23311()203.67/24t g f t m h ===∑，又有散点图中可知存在两个时间点12(8,9),(2223)t t ∈∈，使得().f t g =接下来我们来求出这两个时间12,t t ，不妨在时间段(89)(2223)，、，做插值并求出12,t t 即可求得128.45,22.208.t h t h ≈≈于是()c t 在1t 时刻或者2t 时刻达到最大值，显然不可能在1t 时刻。

事实上，在1t 之前()f t 均小于g 所以()c t 不可能达到最大值，故只能在222.208t h ≈达到最大值。

利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求积分()tt f x dx ⎰，从而可以利用数学软件MATLAB 求得最大值(代码见附录4)为3917.08m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.4m 来设计均流池。

数模作业（第二章插值法）P563、题目：根据2.5节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑考虑均流池的容量（用到微积分的极值条件）。

时间/h 0 1 2 3 4 5 6 7流量/(m3.h-1) 150.12 115.56 84.96 66.60 68.04 71.64 82.08 132.84 时间/h 8 9 10 11 12 13 14 15流量/(m3.h-1) 185.04 226.80 246.60 250.92 261.00 271.44 273.96 279.00 时间/h 16 17 18 19 20 21 22 23流量/(m3.h-1) 291.60 302.04 320.68 290.52 281.16 248.40 210.24 186.84 分析：我们已知的只有数据的散点。

通过已学知识，用matlab画图，画出散点所形成的曲线。

建立matlab文件e。

m文件，输入的代码为：h=0:1:23y=[150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226. 80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,29 0.52,281.16,248.40,210.24,186.84]x1=0:0.01:23;t=sum(y)/24;plot(h,y,'*-',x1,t)hold onplot(h,y,x1,'r+')在matlab工作区间运行结果为：现用插值进行运算：在matlab 中建立M 文件 x = 0:23;y = [150.12 115.56 84.96 66.6 68.04 71.64 82.08 32.84 185.04 226.8 246.6 250.92 261 271.44 273.96 279 291.6 302.04 310.68 290.52 281.16 248.4 210.24 186.84]; h = 0:0.001:23;t = interp1(x, y, h, 'spline') %一维插值利用插值后的数值来求积分()tt f x dx⎰，从而利用如下MATLAB 代码求得最大值为3917.0773m.若要考虑25%的裕量，可按照31146.346625m 来设计均流池。

在matlab 中建立M 文件clear; a = 876.15; x = 0:23;y = [150.12 115.56 84.96 66.6 68.04 71.64 82.08 132.84 185.04 226.8 246.6 250.92 261 271.44 273.96 279 291.6 302.04 310.68 290.52 281.16 248.4 210.24 186.84]; h = 0:0.001:23;t = interp1(x, y, h, 'spline'); %一维插值 t1 = t(2:22209);m = 0.001 * (sum(t1)') - 203.67 * 22.208; Max = m + a %容量数模作业（第四章）1、（1）解：根据题意及表格信息，可列出下列关系试。

设投资证券A ，B,C,D,E 的证券的金额分别为54321,,,,x x x x x ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤+++++++≤++++++≥++++++=0,,,,1052341594.15224045.0022.0025.0027.0043.0max 54321543214321543214321532143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x z （1）整理后得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0,,,,1003210403644664045.0022.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）在LINGO 中输入如下命令：model :max =0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5; x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=10; End运行后所得结果：Global optimal solution found.Objective value: 0.2983636 Total solver iterations: 4Variable Value Reduced Cost X1 2.181818 0.000000X2 0.000000 0.3018182E-01 X3 7.363636 0.000000X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 0.4545455 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2983636 1.000000 2 3.363636 0.0000003 0.000000 0.6181818E-034 0.000000 0.2363636E-025 0.000000 0.2983636E-01可得：A ，C ，E 分别投资2.182百万元、7.364百万元、0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。

（2）由于（1）可知，增加1百万元收益增加0.0298百万元。

以2.75%借到1百万元资金需要税收0.0275百万元，故借钱合算，列出下列模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0,,,,1103210403644664045.0024.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （3）在lingo 中输入如下命令：model :max =0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5; x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=11; end运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 0.3282000 Total solver iterations: 4Variable Value Reduced Cost X1 2.400000 0.000000X2 0.000000 0.3018182E-01 X3 8.100000 0.000000X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 0.5000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3282000 1.000000 2 4.100000 0.0000003 0.000000 0.6181818E-034 0.000000 0.2363636E-025 0.000000 0.2983636E-01因此解得A ，C ，E 分别投资2.40百万元、8.10百万元、0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。