运用待定系数法解题举例
待定系数法是一种最基本的数学方法，运用待定系数法解题的一般步骤是：先根据已知条件设出一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式的性质列出几个方程，组成方程组，通过解方程组而求出各待定系数的值，或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数间存在的关系.现就用该法解题谈点粗浅的看法，供参考.
一、用待定系数法分解因式
运用待定系数法分解因式，往往是把多项式先设为含有待定系数的因式的积，再根据恒等的意义，运用比较系数法，求出待定系数，从而得出答案.
例1.若χ+3是多项式χ2+m χ－15的一个因式，求m 的值，并将χ2+m χ－15分解因式.
解：设χ2+m χ－15=(χ+3)(χ+n).
∵ χ2+m χ－15
=(χ+3)(χ+n)
=χ2+n χ+3χ+3n
=χ2+(n+3)χ+3n ，
∴3153m n n =+⎧⎨-=⎩ 解之得25
m n =-⎧⎨=-⎩
∴ χ2+m χ－15= χ2－2χ－15=(χ+3)(χ－5).
二、用待定系数法解异分母的分式的加减法
对于异分母的分式相加减，课本上给出了运算的一般方法———先通分，变为同分母的分式，然后再加减.对于其中的一些问题，除了用一般方法求解外，还可用待定系数法求解.
先看下面例子： 将9
62-x 化为部分分式. 解：因为χ2－9=(χ+3)(χ－3),
故设
962-x =3+x A +3
-x B . ∵3+x A +3-x B =)
3)(3()3()3(-+++-x x x B x A =)
3)(3()33()(-++-++x x B A x B A ， ∴
962-x =)3)(3()33()(-++-++x x B A x B A . 比较两边分子对应项的系数，得
0336A B A B +=⎧⎨-+=⎩ 解之得11
A B =-⎧⎨=⎩ ∴9
62-x =－31+X +31-X . 下面请看正式例子：
例2.计算
962-m +m
-31. 解：由上例知：9
62-m =－31+m +31-m ， ∴原式=－31+m +31-m －31-m =－3
1+m . 例3.计算：2312++-x x x －262--x x －4102--x x . 解：设2312++-x x x =1+x A +2+x B =)
2)(1()2()(+++++x x B A x B A . ∴121A B A B +=⎧⎨
+=-⎩ 解之得23A B =-⎧⎨=⎩ ∴2
312++-x x x =－12+x +23+x . 同理：262--x x =22-x －1
2+x ，
4102--x x =23+x －2
2-x . ∴原式=－12+x +23+x －22-x +12+x －23+x +22-x =0.
三、用待定系数法解分式方程
某些分式方程，除了可用常规方法求解外，也可用待定系数法求解.
例4.解方程：162-x +x
-13＝1. 解：设162-x ＝1+x A +1-x B ＝)
1)(1()()(-++-++x x B A x B A ∴06A B A B +=⎧⎨-+=⎩ 解之得33A B =-⎧⎨=⎩
∴原方程可化为： －
13+x +13-x －1
3-x ＝1， 从而得 －13+x ＝1. 去分母，得 －3＝χ+1. 解之得 χ=－4.
经检验，χ=－4是原方程的解.
∴原方程的解为χ=－4.
[评注]:若用常规方法求解，去分母后，得到的是一个关于χ的一元二次方程，这有可能使未知数的取值范围扩大，从而产生增根.而采用待定系数法，能够避免产生增根.
四、用待定系数法确定函数的解析式
在运用待定系数法确定函数的解析式时，应根据题意，讲究技巧，合理假设，这会给解题带来很大方便.
例5.已知一个二次函数的图象的顶点坐标为（1,3），且经过点（－1,－5），求它的解析式.
解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为（1,3），
故设它的解析式为y=a(χ－1)2+3.
∵抛物线y=a(χ－1)2+3过点（－1,－5），
∴－5＝a(－1－1)2+3.
解之得a=－2.
∴这个二次函数的解析式为y=－2(χ－1)2+3或y=－2χ2+4χ+1.
[评注]:此题若设这个二次函数的解析式为y=a χ2+b χ+c ，则得到的方程组是 2
1
24345b a ac b a
a b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪-+=-⎪⎪⎩
求解这个方程组，运算量大，并且极易出错，而采用上述解法，则较为简便.。