出射角/入射角
i
n (s
1
pi
)
m (s
j1
z
j)
(2k
1)π
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴方向的夹
角称为出射角，根轨迹进入某个开环零点的切线与实
轴的正方向的夹角称为入射角。
m
l 1
n
pl 180 ( pl zi ) ( pl p j ) ( pl p j )
i 1
l1,2 1 1 K *
§4.1.2 闭环零点与开环零、极点之间的关系
系统结构图如图所示，确定闭环零点
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
§4.1.3 绘制根轨迹方程—绘制根轨迹的两个条件
根轨迹方程及其含义
K* G(s)
(s) G(s)
s p
系统的闭环特征方程可以表示为：
K* > 0
1 + K* (s - z1 )(s - z2 )....(s - zm ) = 0 (s - p1 )(s - p2 )....(s - pn )
以K*为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，
相应地，我们称之为典型根轨迹方程。
将典型根轨迹方程可以写成幅值条件和相角条件：
注意
只有复数极点或复 数零点才需要计算 出射角/入射角。
出射角/入射角示例
N(s)
dD(s) ds
-
D(s)
dN(s) ds
=
0
d ds
D(s) N(s)
=
0
dK * = 0 ds
n 1
m1
i1 d pi j1 d z j
分离点的必要条件
m
K * (s zi )
n
(s pj)
G(s)H(s)
i 1 n
1 K *
j 1 m
(s pj)
(s zi )
根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特征方程的阶数 n，即根轨迹的分支数与开环极点的数目相同。
特征方程中的参数为实数且连续变化，特征方程的根
要么是实根要么是共轭复根（对称于实轴），同时特
征方程的根连续变化，则根轨迹连续且对称。
基本法则（3）——根轨迹的起点和终点
法则3 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果
s
p j zi
j 1
i 1
K e 1 *nm
j (2k 1) nm
nm
基本法则（5）——实轴上的根轨迹
法则5 实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数 与开环实零点数的总数为奇数的线段。简记为“奇是 偶不是”。
m
n
G(s)H(s) (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i 1
j 1
j 1
j l 1
简记“加零去余极”
m
l 1
n
zl 180 (zl pi ) (zl z j ) (zl z j )
i 1
j 1
jl 1
简记为“加极去余零”
出射角/入射角示例
例4 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) K *(s 1.5)( s 2 j) ，绘制根轨迹。 s(s 2.5)( s 0.5 1.5)
开环零点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹
终止于无穷远处。
K*
s p1 s pn s z1 s zm
snm 1 p1 1 pn
s
s
1 z1 1 zm
0
s
s
s pi
i 1, 2, n
K*
s p1 s pn s z1 s zm
snm 1 p1 1 pn
G(s)H(s) =
K*(s - z1 )
(s - p1 )(s - p2 )(s - p3 )(s - p4 )
基于相角条件，在复平面上选足够多的试验点，对每
一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点
在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将
在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
先在复平面上标出开环极点p1, p2, p3, p4和开环零点z 1如图。对试验点s，如果它在根轨迹上，就应当满足
1)
arctan
1
1 1
+
2
=
1
1 1
2 4 4 2 2
( 2)2 2
2
2
定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
基本法则（6）——与虚轴交点
1）系统临界稳定点
法则6 与虚轴交点：
[接例3] G(s)
m
G(s)H(s)
K * s z1 s zm s p1 s p2 s pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
j 1
— 模值条件
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相角条件
例:以下列4阶系统为例手工绘制根轨迹图.
2
ReD( j ) 3 2 K * 0
2
ImD( j) 3 2 0
K* 6
基本法则（7）——分离点 d
法则7 分离点 d： dK * = 0 或 ds
（对应重根）
n 1
m1
i1 d pi j1 d z j
当K*从0变到∞时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点
称分离点。分离点对应重闭环极点。
K*
2）s
=
j
是根的点
Re[1 + G(jω)H(jω)] Im[1 + G(jω)H(jω)]
= =
0 0
s(s 1)( s 2)
D(s) s(s 1)( s 2) K * s3 3s2 2s K * 0
2
解法I ：Routh ：
解法II ：D( j ) j 3 3 2 j2 K * 0
ds
ds
ds
该方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不
一定是分离点，是否是分离点还要看是否满足相角条件。
分离点的必要条件
D(s) + K*N(s) = 0 K* = -D(s) / N(s)
dD(s) + K* dN(s) = dD(s) - D(s) dN(s) = 0
ds
ds
ds N(s) ds
实轴上的根轨迹示例
例3 某单位反馈系统的开环传递函数为 ，证明复平面的根轨迹为圆弧。
s = σ + jω
(s 2) s - (s 1)= (2k 1)
( 2 j) ( j) - ( 1 j)= (2k 1)
arctan
2
arctan
-
arctan
1
=
(2k
1)
+
arctan
2
=
(2k
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点， 因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个 开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一 定有分离点。
当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零 点）之间可能有分离点。
复数分离点示例
p3
j
0
p2
p1
p4
分离点的必要条件
§4.1 根轨迹法的基本概念
系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的 根—闭环极点，所以控制系统的动态设计，关键就 是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环 极点的常用办法。 1948年W.R.Evans提出了根轨迹法，它不直接求解 特征方程，而用图解法来确定系统的闭环特征根。
根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，闭环特
G(s)H(s)
(s
K*(s p1 )(s
z1 )(s zm p2 )(s
) pn
)
1
m
G(s)H(s)
K * s z1 s zm s p1 s p2 s pn
K*
(s zi )
i 1 n
1 —
(s pj)
模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
j 1
i 1
dK * = 0
d
ds
ds
n
(s
pj
)
j 1 m
(s zi )
0
d
ln
ds
n
(s
pj
)
j 1 m
(s zi )
0
i1
i1
d
ds
n j 1
ln(s
pj
)
m i 1
ln(s
zi )
0
n1
m1
i1 d pi j1 d z j
法则8
基本法则（8）——出射角/入射角
pj——(j=1,2,…,n) 为系统的开环极点； zi——(i=1,2,…,m) 为系统的开环零点；
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) = K*(s - z1 ) (s - zm ) = 1 — 根轨迹方程 (s - p1 )(s - p2 ) (s - pn )
§4 线性系统的根轨迹分析
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规 则 §4.3 特殊根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析控制系统性能
根轨迹法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点:
（1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统