《自动控制原理》课程实验报告实验名称系统根轨迹分析专业班级 ********************学号姓名**指导教师李离学院名称电气信息学院2012 年 12 月 15 日一、实验目的1、掌握利用MATLAB 精确绘制闭环系统根轨迹的方法；2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响；二、实验设备1、硬件：个人计算机2、软件：MATLAB 仿真软件（版本6.5或以上）三、实验内容和步骤 1．根轨迹的绘制利用Matlab 绘制跟轨迹的步骤如下：1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K )()(s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。

2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。

关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。

不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。

图3.1 函数rlocus 的调用例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。

图3.2 闭环系统一图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序图 3.4 函数 rlocfind 的使用方法注意：在这里，构成系统 s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次幂项的系数为1。

当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1);当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。

对于图 3.2 所示系统，G(s)H(s)=)2()1(++s s s K *11+s =)3)(2()1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys :sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1)若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 rlocfind 。

然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。

将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。

另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某点 并点击鼠标左键，这时图上会出现一个关于该点的信息框，其中包括该系统在此点的特征根的值及其 对应的 K 值、超调量和阻尼比等值。

图 3.4 给出了函数 rlocfind 的用法。

2．实验内容图3.5 闭环系统二1）对于图 3.5 所示系统，编写程序分别绘制当（1） G(s)=)2(+s s K,（2） G(s)=)4)(1(++s s s K,（3） G(s)=)6)(4)(2(+++s s s s K,（4） G(s)=)24)(24)(4)(2(j s j s s s s K-+++++,（5） G(s)=)2()4(++s s s K ,（6） G(s)=)4)(2()6(+++s s s s K ,（7） G(s)=)4)(2()24)(24(++-+++s s s j s j s K时系统的根轨迹，并就结果进行分析。

解析：Lab3_1_1.m 程序：sys=zpk([],[0 -2],1);rlocus(sys)仿真结果：理论分析:系统极点：p=0、-2 ，无零点，故有两条渐近线，且φ=090、-090。

渐近线与实轴的交点：σ=2)2(0-+=-1。

分离点：K=-s(s+2),dK/ds=-2s-2,令其=0，则s=-1，此时K=1。

当K=0时，系统根轨迹从极点0，-2处出发；当K=1时，在实轴的-1处会合，分别沿垂直于-1的直线以090，-090方向延伸，在根轨迹无穷远处，K−→−∞由分析可知，运行结果与理论结果一致。

Lab3_1_2.m程序：sys=zpk([],[0 -2 -4],1);rlocus(sys)仿真结果：理论分析:系统极点：p=0、2、-4，无零点，系统有三条渐近线，且φ=060、-060、0180渐近线与实轴的交点：σ=3420--=-2 。

根轨迹与虚轴的交点：令s=jw,带入特征方程s(s+2)(s+4)+K=0,得：jw(8-2w)+(K-62w)=0,故w=2.83、-2.83 。

带入特征方程验证，K>0，实轴上的根轨迹：[-2,0]，（-∞，-4）。

[-2,0]之间的根轨迹：K=0时，分别从-2,0出发；当K=3.08*2*4=24.64时会合，再分别沿渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K−→−∞；（-∞，-4）之间的根轨迹：K=0时，从-4出发，沿负实轴趋于无穷，无穷远处，K−→−∞由分析可知，运行结果与理论结果一致。

Lab3_1_3.m程序：sys=zpk([],[0 -2 -4 -6],1);rlocus(sys) 仿真结果：理论分析:系统极点：p=0、-2、-4、-6 ，无零点，系统有四条渐近线，且φ=045、-045、-0135、0135 ，渐近线与实轴的交点：σ=4642---=-3分离点：，解得：，当2s 带入特征方程时，k<0,故舍去。

根轨迹与虚轴的交点：令s=jw,带入特征方程为0484412234=++++K s s s s ，令实部和虚部分别为0，得：w=2或-2,k=160。

实轴上的根轨迹：[-2,0],[-6,-4] 。

[-2,0]之间的根轨迹：当K=0时，分别从-2,0出发，当K=16*2*486=768时，在实轴上会合，再分别沿0045,45-渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞。

[-6,-4]之间的根轨迹：当K=0时，分别从-6，-4出发，当K=768时，在实轴上会合，再分别沿00135,135-渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ 根据分析可知，运行结果与理论结果一致。

Lab3_1_4.m程序：sys=zpk([],[0 -2 -4-2j -4+2j],1);rlocus(sys) 仿真结果：理论分析:系统极点：p=0、-2、-4、-4-j2、-4+j2 ，无零点，系统有五条渐近线，且φ=5180*)12(0+q （q=0,1,2,3,4）,即φ=00000180,108,108,36,36--渐近线与实轴的交点：σ=5242442j j +-----=-514。

根轨迹与虚轴的交点：令s=jw,带入特征方程,016018476142345=+++++K s s s s s 解得w=2.15或73.85（舍去，不符合K>0）。

实轴上的根轨迹：[-2,0],（-∞，-4）。

[-2,0]之间的根轨迹：当K=0时，分别从-2,0出发，在s=-0.648[此时K=44.7*2*4*(4+j2)*(4-j2)]处会合，然后沿0036,36-的渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞；（-∞，-4）之间的根轨迹：当K=0时，从-4出发，沿0180渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞，同时，当K=0时，系统根轨迹分别从-4-j2,-4+j2出发，沿00108,108-渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K −→−∞ 运行结果与理论结果一致。

Lab3_1_5.m 程序：sys=zpk([-4],[0 -2],1);rlocus(sys) 仿真结果：理论分析:系统极点：p=0、-2 ，零点：-4，系统有一条渐近线，φ=0180分离点：211++s s =41+s ，解得：s=-4+22或-4-22 。

根轨迹是一个以-4为圆心，22为半径的圆，根轨迹分别从-2,0出发，在s=-4+22处会合，然后分开，顺着圆的轨迹在s=-4-22处会合，一条终止于s=-4处，另一条终止于s −→−-∞处。

起点处，K=0，终点处，K −→−∞ 由分析可知，实验结果与理论结果一致。

Lab3_1_6.m 程序：sys=zpk([-6],[0 -2 -4],1);rlocus(sys)仿真结果：理论分析:系统极点：p=0、-2、-4 ，零点：-6 ，系统有两条渐近线，且φ= 090、-090。

渐近线与实轴的交点：σ=4)6 (42----=0。

令s=jw,代入s(s+2)(s+4)+K(s+6)=0得：jw(2w+8+K)+6(2w-1)=0,故w=1、-1而此时，K=-9<0,所以根轨迹与虚轴没有交点。

实轴上的根轨迹：[-2,0],[-6,-4] [-2,0]之间的渐近线：当K=0时，根轨迹分别从-2,0出发；当K=0.603时，在实轴上s=0.936处会合，在分别沿着090,-090的渐近线趋于无穷远处，无穷远处，K−→−∞。

[-6,-4]之间的根轨迹：当K=0时，从-4出发，当K−→−∞时，根轨迹终止于零点-6由以上分析可知，运行结果与理论结果一致。

Lab3_1_7.m程序：sys=zpk([-4-2j -4+2j],[0 -2 -4],1);rlocus(sys)仿真结果：理论分析:系统的极点：p=0、-2、-4 ，零点：-4-j2、-4+j2，系统有一条渐近线，且φ= 0180。

渐近线与实轴的交点：σ=4.05)24()24(42=+-------jj令s=jw, 代入s(s+2)(s+4)+K(s+4+j2)(s+4-j2)=0,得jw(8+8K-2w)+(20K-62w-Kw2)=0.令实部和虚部分别为0，得w=-10+j60或-10-j60.而此时K<0,故根轨迹与虚轴无交点。

实轴上的根轨迹：[-2,0],(-4,-∞)。

[-2,0]之间的根轨迹：当K=0时，根轨迹分别从-2,0出发；当K=0.232*4*2)2 4)(24(jj-+=0.58时，在实轴的s=-1.06处会合；在K−→−∞时，终止于零点-4-j2,-4+j2。

(-4,-∞)之间的根轨迹：当K=0时，根轨迹从-4出发，在K−→−∞时，终止于负实轴的无穷远处由以上分析可知，运行结果与理论结果一致。

Lab3_2_1.ma=10时程序：sys=zpk([-1],[0 0 -10],1);rlocus(sys)仿真结果：图1Lab3_2_2.ma=9时程序：sys=zpk([-1],[0 0 -9],1);rlocus(sys)仿真结果：图2 Lab3_2_3.ma=8时程序：sys=zpk([-1],[0 0 -8],1);rlocus(sys) 仿真结果：图3 Lab3_2_4.ma=3时程序：sys=zpk([-1],[0 0 -3],1);rlocus(sys) 仿真结果：图4 Lab3_2_5.ma=1时程序：sys=zpk([-1],[0 0 -1],1);rlocus(sys)仿真结果：图5理论分析:特征方程为：0)1()(2=+++s K a s s ，K=-123++s as s ，令,0=ds dK 得202)3(2=+++a s a s 。