.中值定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一节 中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。

教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。

教学过程：一、罗尔定理定理1：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0.证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况：（1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。

（2） M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a)同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点得最大值。

下面来证明：f '(ξ)=0首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知：f '(ξ)=ξξξξξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim )()(lim …….(*) 因为M 为最大值，⇒对x ∀有 f(x) ≤M ⇒f(x)－M ≤0,当x>ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≤0 当x<ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≥0。

又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即)()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有 0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x 和 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x 0)(='⇒ξf 。

注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。

2：罗尔定理中的ξ点不一定唯一。

事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数)(x f 在点ξ处取得最大值或最小值，则有0)(='ξf 。

3：定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于x 轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于x 轴。

【例1】 设多项式)(x p 的导函数)(x p '没有实根，证明)(x p 最多只有一个实根。

二、 拉格朗日中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii))()(b f a f =，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：定理2：若函数满足：(i))(x f 在],[b a 上连续；(ii))(x f 在),(b a 上可导；则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 ab a f b f f --=')()()(ξ。

若此时，还有)()(b f a f =， 0)(='⇒ξf 。

可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。

证明：上式又可写为 0)()()(=---'ab a f b f f ξ ……(1) 作一个辅助函数：)()()()()(a x ab a f b f x f x F ----= ……(2) 显然，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且)()()()()()(a f a a ab a f b f a f a F =----= )()()()()()(a f a b a b a f b f b f b F =----= )()(b F a F =⇒， 所以由罗尔中值定理，在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξF 。

又a b a f b f x f x F ---'=')()()()( ⇒0)()()(=---'a b a f b f f ξ 或 ab a f b f f --=')()()(ξ。

注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；2：定理中的结论，可以写成))(()()(a b f a f b f -'=-ξ)(b a <<ξ，此式也称为拉格朗日公式，其中ξ可写成： ⇒<<-+=)10()(θθξa b a)))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ ……(3) 若令h h a f a f h a f h a b )()()(,θ+'=-+⇒+= ……(4) 3：若b a >，定理中的条件相应地改为：)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，则结论为： ))(()()(b a f b f a f -'=-ξ 也可写成 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ 可见，不论b a ,哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。

这时，ξ为介于b a ,之间的一个数，(4)中的h 不论正负，只要)(x f 满足条件，(4)就成立。

4：设在点x 处有一个增量x ∆，得到点x x ∆+，在以x 和x x ∆+为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+)()()(θ )10(<<θ 即 x x x f y ∆⋅∆+'=∆)(θ 这准确地表达了y ∆和x ∆这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。

5：几何意义：如果曲线)(x f y =在除端点外的每一点都有不平行于y 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。

由定理还可得到下列结论：推论1：如果)(x f y =在区间I 上的导数恒为0，则)(x f 在I 上是一个常数。

证明：在I 中任取一点0x ，然后再取一个异于0x 的任一点x ，在以0x ，x 为端点的区间J 上，)(x f 满足：(i)连续；(ii)可导；从而在J 内部存在一点ξ，使得 ))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 又在I 上，0)(≡'x f ，从而在J 上，0)(≡'x f ，0)(='⇒ξf ， 所以0)()(0=-x f x f )()(0x f x f =⇒ ， 可见，)(x f 在I 上的每一点都有：)()(0x f x f = （常数）。

三、 柯西中值定理定理3：若)(),(x F x f 满足：(i) )(),(x F x f 在],[b a 上连续；(ii) )(),(x F x f 在),(b a 内可导；(iii))(x F '在),(b a 内恒不为0；(iv))()(b F a F ≠；则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 )()()()()()(a F b F a f b f F f --=''ξξ。

证明：令)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x ---=ϕ，显然，)(x ϕ在],[b a 上连续，且)(x ϕ在),(b a 内可导，更进一步还有 )()(b a ϕϕ=，事实上，)()()()()()()()()()()()()()(a f a F a F b f a f b f b f b F a F b F a f b f a b +------=-ϕϕ 0))()(())()(()()()()(=-----=a f b f a F b F a F b F a f b f 所以)(x ϕ满足罗尔定理的条件，故在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξϕ，又)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x '-'--='ϕ 0)()()()()()(='-'--⇒ξξf F a F b F a f b f 因为0)(≠'ξF ， )()()()()()(a F b F a f b f F f --=''⇒ξξ注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令x x F =)(，就得到拉格朗日中值定理；2：几何意义：若用⎩⎨⎧==)()(x F Y x f X （b x a ≤≤）表示曲线c ，则其几何意义同前一个。

【例1】 若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<321，证明在),(21x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf 。

【例2】 若0>x ，证明x x xx <+<+)1ln(1。

证明：对00>∀x ，取]1,1[],[0x b a +=， x x f ln )(=， 不难验证：)(x f 满足拉格朗日中值定理的条件，故在)1,1(0x +内至少存在一点ξ，使ξξ1)(='f 满足 )11(11ln )1ln(00-+=-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(00x x )11(0x +<<ξ 11110<<+⇒ξx 00001x x x x <<+⇒ξ 0000)1ln(1x x x x <+<+⇒ 由0x 的任意性，知本题成立。

注：条件“0>x ”可改为“1->x ”，结论仍成立。

【例3】 证明：b a b a -≤-sin sin 。

【例4】 证明：若)(x f 在),(+∞a 上可导，且)(lim ,)(lim x f k x f x x '=∞→∞→存在，则 0)(lim ='∞→x f x 。

【例5】 证明2arccos arcsin π=+x x （11≤≤-x ）。

证：令x x x f arccos arcsin )(+=，01111)('22=---=x x x f ，由推论知f(x)=常数！再由2)0(π=f ，故2arccos arcsin π=+x x 。

【例6】 若方程01110=+⋯++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明方程0)1(12110=+⋯+-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。