3[1]1微分中值定理
及其应用
3.2 微分中值定理及其应用
教学目的：
1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基
础；
2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；
3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；
5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。

教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。

教学时数：2学时
一、微分中值定理:
1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,
则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函
数.
推论2 函数和在区间I上可导且
推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.
若存在,则右导数也存在,且有
(证)
但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数
虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).
Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在
内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函
数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I
上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.
推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且
( 证 )
Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若
为介于与之间的任一实数, 则
设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )
3.Cauchy中值定理:
Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点
使.
证分析引出辅助函数. 验证在
上满足Rolle定理的条件,
必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不
同时为零”矛盾.
Cauchy中值定理的几何意义.
（二）中值定理的简单应用:
1. Rolle中值定理的应用
例1设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .
提示：设«Skip Record If...»
例2设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,且«Skip Record If...».试证明:«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
例3设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,对«Skip Record If...»,试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»
提示：设«Skip Record If...»
例4 已知函数«Skip Record If...»具有二阶导数,且«Skip Record If...»试证在区间«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»
例5 证明方程在内有实根.
例6 证明方程在内有实根.
练习设函数在区间«Skip Record If...»上连续,在«Skip Record If...»内可导,且«Skip Record If...»,试证明(1)«Skip Record If...»;
(2) 对任意实数«Skip Record If...»,必存在«Skip Record If...».
提示：(2)«Skip Record If...», «Skip Record If...»
广义Rolle中值定理：设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可微，«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，
则存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
例7设函数在«Skip Record If...»上连续可微,«Skip Record If...»,证明存在一点«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».
练习设函数在«Skip Record If...»上可微,«Skip Record If...», 试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».
grange中值定理的应用
例8 设是可微函数, 导函数«Skip Record If...»严格单调增加,若«Skip Record If...»,试证对一切«Skip Record If...»,有«Skip Record If...».(不得直接利用凸函数的性质)
3.Cauchy中值定理的应用
例1 设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...».
练习设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»
(三).Jensen不等式及其应用:
Jensen 不等式: 设在区间上恒有( 或, 则对
上的任意个点, 有Jensen不等式:
( 或,
且等号当且仅当时成立.
证令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.
对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.
例2证明: 对有不等式.
例3证明均值不等式: 对, 有均值不等式
.
证先证不等式.
取.在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有
. 由↗↗.
对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.
例4证明: 对, 有不等式
. ( 平方根平均值 )
例5设，证明.
解取, 应用Jensen不等式.
Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅荆昌汉文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39.
例6在⊿中, 求证.
解考虑函数
在区间内凹, 由Jensen不等式, 有
.
.
例7 已知. 求证
.
解考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有
.
.
例8已知求证.( 留为作业 ) 解函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有
.。