极坐标系下速度与加速度的推导过程：
一、极坐标系（ plane polar coordinates ）
1 ．极坐标系
在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴（有方向的），建成极坐标系。

矢径：由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度
由 r 表示矢径。

如图示： r=
幅角：质点的位置矢量与极轴所夹的角θ （也称：极角）
规定：自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。

（ r ，θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标。

质点的运动学方程：、
质点的轨迹：
2 ．极坐标系中矢量的正交分解
如图示：质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向
径向单位矢量：沿质点所在处位置矢量的方向。

横向单位矢量：与径向方向垂直且指向增加的方向。

任何矢量均可在和方向上作正交分解。

注意：径向和横向随地点而异。

二、径向速度与横向速度
讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示：
（ 1 ）用微元法推导速度
设： t t+ 时间内，图中质点自 A （ r， t）经历一微小的位移，到达
由速度的定义：
（ 1 ）位移对应于质点矢量的改变——径向位移；
位移对应于质点相对于极点幅角的改变——横向位移。

时，指向趋于方向。

，时，指向趋于方向。

(2)
故 : 速度的径向分量：，速度的径横向分量：
即：径向速度等于矢径对时间的变化率
横向速度等于矢径与角速度的乘积。

（ 2 ）矢量运算法推导速度
（ 5 ）对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。

下面讨论：
如图所示是单位径向方向，模的大小为 1 。

（）
另外的推导也可如下进行：
右端展开是 :
即：
所以 : 。

三、加速度矢量
用“矢量法”推导“加速度”
已知：
加速度另外一种表示；。