研究生概率论与数理统计课
使用教材：《农业试验统计方法及原理》
课堂教学：36 ×2
=72学时 统计软件SAS上机实习：2 ×4 =8学时 成绩评定：期末闭卷考试 任课教师：余家林（理学院数理系） 联系电话：外线87285311，内线85311
研究生概率论与数理统计课
讲述：统计分析常用方法的原理及新方法 为了解总体（指它的某一项指标）
E( X 2 ) ai2 pij , E(Y 2 ) b2 j pi j
i j
i
j
i
j
若（X,Y）为连续型随机变量
且分布密度为 p( x, y) ，
xoy
则 E( X )
x p( x, y )dxdy , E (Y ) y p( x, y )dxdy ,
xoy xoy
E ( X 2 ) x 2 p( x , y )dxdy , E (Y 2 ) y 2 p( x , y )dxdy ,
xoy
E ( XY )
xoy
xy p( x , y )dxdy

定义E[( X EX )(Y EY )]为二维随机变 量( X , Y )的协方差,或一维随机变量 X与Y的 协方差并记作cov( X , Y ), ( X , Y )或 XY

通过抽样调查或试验得到样本 根据样本的观测值对总体作定性分析
{

对总体的数字特征进行估计与假设检 验，用数字、图表、方程式作定量分析

撰写研究论文
研究生概率论与数理统计课

学习要求：理解概念，熟悉原理，掌握方法， 上机计算，解释结果 用到微积分与线性代数知识（不必系统复习）
系统听课，仔细解答习题，上机看结果 研究生处规定：凡选课者，必须参加考试
1. 协方差的定义及其性质
已经证明: 若X与Y相互独立 ,则
E( X EX )(Y EY ) 0
若 E( X EX )(Y EY ) 0 , 则 X与Y不相互独立 定义E[( X EX )(Y EY )]为二维随机变
量( X , Y )的协方差 ,或一维随机变量 X与Y的 协方差并记作cov( X , Y ), ( X , Y )或
E ( X1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) ; 推论：E(k1 X1 k2 X 2 kn X n ) k1E( X1 ) k2 E( X 2 ) kn E( X n ) ;
3）若X与Y相互独立 ,
则 E( XY ) (EX )(EY )


第一章

概率论专题
§1.1 二维随机变量的协方差及相关系数
1. 协方差的定义及其性质 2. 相关系数的定义及其性质 3. 协方差矩阵的定义及其性质 4. 相关系数矩阵的定义及其性质 已学习过一维随机变量的数字特征： 数学期望及方差 二维随机变量的协方差及相关系数 是二维随机变量的数字特征
若X与Y相互独立 ,则 E ( X EX )(Y EY ) E XY XEY YEX ( EX )(EY ) E ( XY ) ( EX )(EY ) ( EX )(EY ) ( EX )(EY ) 0,
因此 D( X Y ) D( X ) D(Y )


定义
( X ,Y )
E [( X EX )(Y EY )] ( X ) (Y )
为
X与Y的（线性）相关系数。
计算时E[( X EX )(Y EY )] E ( XY ) EX EY
( X ) E( X EX ) E( X ) ( EX ) ,
方差的性质：
1） 若k为常数 , 则D(kX )
k D( X ) ;
2
2）若X与Y相互独立 ,则
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 若X1, X 2 ,, X n相互独立 , 推论： 则 D( X1 X 2 X n )
D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) ;
XY
即 : cov(X , Y ) E[( X EX )(Y EY )]
若X与Y不相互独立 ,则 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov( X , Y )
2
E ( X EX ) (Y EY ) 2( X EX )(Y EY )
2 2
2 2

2

2
E( X EX ) E(Y EY ) 2E( X EX )(Y EY ),
式中的E( X EX ) 2 D( X ), E(Y EY ) 2 D(Y ),
D(k1 X1 k2 X 2 kn X n )
2 2
k1 D( X 1 ) k 2 D( X 2 ) k n D( X n )
2
E( X Y ) ( EX EY ) E( X EX ) (Y EY )
证明：D( X Y ) E( X Y ) E( X Y )

二维随机变量的协方差及相关系数 可用来说明两个随机变量的线性相关关系 可由二维随机变量的分布确定

若（X,Y）为离散型随机变量且分布律为
P X ai ,Y b j pij ,
i j
则 E( X ) ai pij , E(Y ) b j pij ,
i j
2 2 2 2
(Y ) E(Y EY ) E(Y ) ( EY )
2 2 2
2

计算时用到数学期望与方差的性质。
数学期望的性质：
1） 若k为常数, 则E(kX ) kE( X )
;
2）E ( X

Y ) E( X ) E(Y ) ;
推论：E( X1 X 2 X n )