(2) X 和 S 相互独立 ;
( 3) 1 X ~ N p ( , )， n
(n 1)S V ~ Wp (n 1, )
定理1.4.2 设X 1 , X 2 , , X n是来自于多元正态
总体 N p ( , )的一个随机样本，则：
( n 1) X和 S 分别是总体均值 和总体 n 协方差矩阵 的极大似然估计。求 和 的无偏估计。
解：
115.6 1 5 X Xi 5 i 1 74 . 8
14.8 13.4 1 5 S ( X i X )(X i X ) 4 i1 13 . 4 15 . 7
例1.4.1:
1 令 x1 表示舒张压， x 2 表示收缩压，假设某地区人的血压 X x 2
x
服从正态分布 N 2 ( , ) ，现从该地区随机抽取 5 人，测得血压数据 如下：
被测量者 舒张压 x1 收缩压 x 2 1 120 80 2 110 70 3 114 75 4 118 77 5 116 72
1 X Xi n i 1
n
样本离差矩阵
V ( X i X )( X i X )
i 1
n
样本协方差矩阵
S ( sij ) p p
1 V n 1
1 n ( X i X )( X i X ) n 1 i 1
样本相关矩阵
R (R rij ) (r D D p)p
2
( n 1) 2 s 分别是 的随机样本，则： x 和 n
总 体 均 值 和 方 差 的 极 大 似 然 估 计 。
2
定理1.4.1
设X 1 , X 2 , , X n是来自于多元正态
总体 N p ( , )的一个随机样本，则：
(1) 样本均值X 和样本协方差矩阵 S 分别是 总体均值 和总体协方差矩阵 的无偏估计 ;
ij p p
1 1 s 2
s
2
SD SD 1
s
2
1 s 2
其中：
D
1 s 2
s2 11
1
1 2 s pp
rij
s ij s ii s jj
一元正态总体参数估计的回顾
设x1 , x2 ,, xn 是来自于正态总体 N ( , 2 ) 的随机样本，则：
(1) 样本均值 x 和样本方差 s 2 分别是 总体均值 和方差 的无偏估计;
2
(2) x和s 相互独立 ;
( 3) x ~ N ( ,
2
2
n
)，
( n 1) s
2

2
~ 2 ( n 1)
一元正态总体 参数的极大似然估计
设x 1 , x 2 , , x n 是 来 自 于 正 态 总 体 N ( , )
设X 1 , X 2 ,, X n为来自于多元正态总体 x1i x2 i N p ( , )的样本, 0, 其中X i ， x pi 则常见的样本统计量有
样本均值
x1i x2 i Xi x pi