W
=
32 152.2 2 + 37.5 2 + 95.75 2 = 176 MPa < [σ ] ，安全。 π × 223 × 10 −9
12-4 图示圆截面钢杆，承受横向载荷 F1 ，轴向载荷 F2 与扭力偶矩 M e 作用，试按第 3
[σ ] = 160 MPa 。
σ=
案 网
F2 F1l Me + ，τ = A W Wp
100
co
（1） (2)
m
习 题
12-1 受集度为 q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面 间的夹角为 α = 30 o ，如图如示。已知该梁材料的弹性模量 E = 10 GPa ；梁的尺寸为
l = 4 m ， h = 160 mm ， b = 120 mm ；许用应力 [σ ] = 12 MPa ；许可挠度 [ w] =
2Hale Waihona Puke 2da2后 答
σ eq3 = σ + 4τ
2 ⎛ Me ⎞ ⎛ F2 F1l ⎞ ⎟ = ⎜ + ⎟ + 4⎜ ⎜W ⎟ ⎝ A W ⎠ p ⎝ ⎠
⎛ 15 × 10 3 × 4 ⎛ 1.2 × 10 3 × 16 500 × 0.9 × 32 ⎞ ⎜ ⎟ + + 4⎜ = ⎜ −6 −9 ⎟ 2 3 ⎜ π × 50 3 × 10 −9 π × 50 × 10 π × 50 × 10 ⎝ ⎠ ⎝ = 107.4 MPa < [σ ]
kh
4 FR πd πd T 16T = = = 61.9 MPa Wp πd 3
2
+
2 2 32 M Cz + M Cy 3
da
= (1.34 + 51.73) × 10 6 = 53.1 MPa （压）
104
课
后 答
M C = Fa × 0.1 m = 66 N ⋅ m 200 T = − M e = − Ft × × 10 −3 = −190 N ⋅ m 2 ∑ M Bz = 0 ， FDy × 0.12 − M C − Fr × 0.06 = 0
ww
w.
(a) 103
kh
课
w.
2
解 危险点在固定端截面最高点和最低点。
co
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
m
强度理论校核杆的强度。已知 F1 = 500 N ， F2 = 15 kN ， M e = 1.2 kN ⋅ m ，许用应力
(b)
解 由已知得受力如图（b）之上图，其中外力偶
FDy =
− M Cz
740 × 0.06 + 66 = 920 N 0.12 = FDy × 0.06 m = 55.2 N ⋅ m
[σ ] = 10 MPa ，矩形截面边长之比为
da
101
课
后 答
5 × 12l 4 q cos 30 o 2 sin 30 o 2 ( ) +( ) 384 Ebh h2 b2 3 1 ( 2 2 )2 + ( 2 2 )2 0.16 0.12
h = 2 ，试确定截面的尺寸。 b
w.
案 网
co
m
解 危险截面在固定端，危险点在 y 为正，z 为负的角点（或 y 为负，z 为正的角点）处。
M Cy =
Ft × 60 × 10 −3 = 57 N ⋅ m 2 FN = − Fa = −660 N ， d = 25 mm
ww
w.
τ max
σ max =
2 2 σ eq4 = σ max + 3τ max = 119.6 MPa < [σ ] ，安全。
12-6 图示钢质拐轴，承受铅垂载荷 F 作用，试按第 3 强度理论确定轴 AB 的直径。 已知载荷 F = 1 kN ，许用应力 [σ ] = 160 MPa 。
12-3 如 果 弯 扭 组 合 变 形 的 轴 用 铸 铁 制 成 ， 是 否 仍 可 用
答
kh
2
12-5 简述下列 3 个强度条件表达式各适用于什么情况。
课
12-4 斜弯曲的外力特点和变形特点各是什么？ 答 斜弯曲的外力特点是不作用在与形心主轴重合或平行的平面内；其变形后的挠曲线 平面与形心主轴平面（或与形心主轴平面平行的平面）不重合。
99
w.
(c)
M 2 +T2 ≤ [σ ] W
co
M 2 +T2 ≤ [σ ] 或 W
12-2 为何斜弯曲、偏心拉压及弯拉组合变形的应力可用叠加原理。 答 斜弯曲、偏心拉压及弯拉组合变形在线弹性、小变形条件下，横截面上的应力都是 拉压正应力，方向共线，可用叠加原理。
m
FN = F ， M y = F ⋅ z F ， M z = − F ⋅ y F
w.
(a)
kh
(b)
ww
解 受力如图（b）之上图。
T = M e = Fy ⋅
d1 50 = 3.83 × 10 3 × × 10 −3 = 95.75 N ⋅ m 2 2 ′ Fy + 2 F y ∑ M z = 0 ， FBy = = 2.259 kN 3 ∑ Fy = 0 ， FAy = 3.044 kN F − 2 Fz′ = 0.107 kN ∑ M y = 0 ， FBy = z 3
da
102
课
后 答
w.
6 × 1 650 6 × 800 + = 10 × 10 6 4b 3 2b 3 b = 90 mm ， h = 2b = 180 mm
案 网
co
σ max =
M z max M y max 6 F2 6 × 2 F1 + = 2 + = [σ ] Wz Wy bh hb 2
试校核此梁的强度和刚度。
l 。 150
解
2 wmax = w y + wz2 =
kh
4 3
1 1 q y l 2 = q cos 30 o ⋅ l 2 8 8 1 1 M y max = q z l 2 = q sin 30 o ⋅ l 2 8 8 1 2 1 2 ql cos 30 o ql sin 30 o M z max M y max 8 6ql 2 cos 30 o sin 30 o 8 σ = + = + = ( + ) Wz Wy 8bh h b bh 2 hb 2 6 6 3 1 3 2 6 × 2 × 10 × 4 ( 2 + 2 ) = 11.97 × 10 6 Pa = 12.0 MPa = [σ ] ，安全 = −6 8 × 120 × 160 × 10 0.160 0.120 5q y l 4 5 × 12q cos 30 o l 4 5q z l 4 5 × 12q sin 30 o l 4 = = w ， = wz = y 384 EI z 384 EI y 384 Ebh 3 384 Ehb 3
第 12 章 组合变形
思考题
12-1 何为斜弯曲？何谓偏心拉压及弯拉组合变形？ 何谓弯扭组合变形？ 答 挠度 w 方向与载荷 F 的作用线方向不一致， 即构件弯曲以后的挠曲线不再是载荷作 用平面内或与载荷作用平面平行的一条平面曲线，这种弯曲称为斜弯曲。 偏心拉压指杆件受的拉伸或压缩作用载荷不是沿截面形心。 将这种不是沿截面形心作用 的拉（压）力向截面形心简化，就是弯拉（压）组合变形。 杆件在弯矩和扭矩联合作用下的变形称为弯扭组合变形。
F F ⋅ z F ⋅ z F ⋅ yF ⋅ y F ⎛ z F ⋅ z yF ⋅ y ⎞ + + = ⎜1 + 2 + 2 ⎟ = 0 A Iy Iz A⎜ iy iz ⎟ ⎝ ⎠ z ⋅z y ⋅y 1+ F 2 + F 2 = 0 iy iz
， iz =
式（b）为中性轴方程。其中 i y =
Iz 。 A
M y max Wy
≤ [σ ]
12-7 试用叠加原理推导拉（压）弯组合变形杆件横截面上的正应力计算公式。
答 如图(12-7-1)所示，点 A ( yF , zF ) 作用有与轴 x 平行的力 F ，由于力 F 不通过截面
形心（偏心拉伸） ，称为偏心力。将力 F 向截面形心简化，如图(12-7-2)所示。根据圣维南 原理，这样平移后，对远离自由端的截面上的应力并无影响。此时梁不仅受轴向力 F 的作 用，而且还受力偶 M y 及 M z 的作用。其值为
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此时，梁的变形为拉伸与弯曲的组合，简称拉弯组合。
(12-7-1)
偏心拉伸
(12-7-2) 弯拉组合
在图(12-7-2)中，任一外法线方向与 x 正向相同的横截面 1-1 上的内力 FN = F ， M y = F ⋅ z F ， M z = − F ⋅ y F
后 答
截面上任 1 点 C ( y, z ) 的应力 轴力引起的正应力
F F ⋅ z F ⋅ z F ⋅ yF ⋅ y + + A Iy Iz
ww
w.
各项应力在横截面上的分布如图 12-7-3(a)，(b)，(c)所示。图 12-7-3(d)为总应力分布图。在 计算时，截面上每一点应力的正负号一般根据该点的位置及构件的变形情况来判定。图 12-7-3(d)上的直线 ef 为中性轴，且中性轴上各点的应力为零。由式（*）知
将已知条件代入上式得