第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲求z的取值范围需得(x，y)所在区域 和z的几何意义 ⇨ (推理)画出不等式组表示的区域，确立目标 函数z的几何意义 ⇨ (结论)数形结合寻找其最大值和最小值． (2)(分析)欲得求解目标需要变量满足的条件和目标解析式 ⇨ (推理)设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y，列出x，y满足 的不等式组，用x，y表示种植总利润z ⇨ (结论)按照一般线性 规划的解法求解其最大值．
第4讲│ 要点热点探究
(2)函数g(x)＝2x，g(a)g(b)＝2a·b＝2a b＝16，所以a＋b＝ 2 4.
4 1 4 1 1 1 4b a 1 方法1： a ＋ b ＝ (a＋b) a＋b ＝ 5＋ a ＋b ≥ 4 4 4 4b a 8 4b a 9 ＝ ，等号当且仅当 a ＝ b ，即a＝2b，即a＝ ， 5＋2 3 a · 4 b 4 b＝ 时取得． 3
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[思考流程] (1)(分析)欲判断各个选项是否成立需考虑不 等式能够成立的条件 ⇨ (推理)如果条件是充分的则不等式成 立，否则不成立 ⇨ (结论)根据各选项作出判断． 4 1 (2)(分析)欲求 a ＋ b 的最小值需要a，b的关系 ⇨ (推理)根 据g(a)g(b)＝16确定a，b关系，进行常数代换 ⇨ (结论)应用 基本不等式得最值．
专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式
第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模 型及其应用 第4讲 不等式与简单的线性 规划 第5讲 导数在研究函数性质 中的应用
第4讲
不等式与简单的线 性规划
第4讲 │ 云览高考
[云览高考]
考点统计 考点1 一元 二次不等式 的解法 考点2 基本 不等式的应 用
* n n
n
a>
n
b (可幂性，开方
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2．基本不等式 a＋b 基本不等式 ab≤ (a>0，b>0)． 2 常见的其他不等式有：a＋b≥2
a＋b ab(a，b>0)；ab≤ 2
2 2
a＋b a ＋b 2ab 2 (a，b∈R)； ≤ ab≤ ≤ (a，b>0)． 2 2 a＋b 3．几种不等式的解法 解一元二次不等式可利用一元二次方程、一元二次不等 式和二次函数间的关系．简单分式不等式变形为一元二次不 等式的形式解决．简单指数不等式与对数不等式可利用单调 性变形为一元二次不等式解决．
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a 2 a2 方法2：配方得f(x)＝ x＋2 ＋b－ ，由于函数f(x)的值域 4 a 2 a2 为[0，＋∞)，所以b－ ＝0，此时f(x)＝ x＋2 ，不等式 4 a 2 a a x＋ <c，解得－ c<x＋ < c，即－ c－ f(x)<c，即不等式 2 2 2
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[点评] 本例第一题要求对不等式成立的条件有精确的掌 握，基本不等式有其成立的限制条件，缺少了使其成立的条 件，则使用基本不等式就会出现错误的结论；第二题中方法1 使用的是常数代换法，这个方法是解决这类问题最简单有效 的方法．
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变式题 已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋ a b y) x＋ y >M对任意正实数x，y恒成立，则M的取值范围 是( ) A．[4，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，4] D．(－∞，4)
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[答案]
(1)C
(2)B
[解析] (1)本题考查不等式的性质以及基本不等式的应 用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条 1 1 2 件．对于A选项，当x＝ 时，lg x ＋4 ＝lgx；所以A不一定正 2 确；B选项，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不 正确；C选项显然正确；D选项不正确，∵x2＋1≥1，∴ 1 0< 2 ≤1，所以正确的是C. x ＋1
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要点热点探究
► 探究点一 一元二次不等式的解法 例1 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0， ＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为________．
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[思考流程] (分析)欲求c的值需得c的方程 ⇨ (推理)解集为 (m，m＋6)说明这个不等式解区间的长度为6，函数f(x)的值域 为[0，＋∞)说明y＝f(x)图象与x轴相切，得出a，b关系后解不 等式f(x)<c ⇨ (结论)根据解区间的长度得出关于c的方程解 之．
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[答案] (1)[－3,3]
x－y≥－1， x＋y≤3， [解析] (1)作出不等式组 x≥0， y≥0
(2)B
表示的平面区域
(如下图阴影部分所示，含边界)，平移直线z＝x－2y，可知当直线z ＝x－2y经过点M(1,2)时，z＝x－2y取得最小值－3，经过点N(3,0) 时，z＝x－2y取得最大值3，所以z∈[－3,3]．
(
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[答案] (1)A (2)C
[解析] (1)原不等式等价于(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0， 1 1 即－ <x<1或x＝1，所以原不等式的解集为－2，1，选A. 2 1 (2)不等式即(2x＋1)(x－3)≥0，解得x≤－ 或x≥3，选项 2 中是该解的真子集的即为所求，只有选项C满足．
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[答案]
D
a b ＋ x y
ay bx [解析] 因为(x＋y) ＝a＋b＋ x ＋ y ≥a＋b＋ ay bx 2≥2 ab＋2＝4，等号成立当且仅当a＝b， x ＝ y ，即a＝ b，x＝y，故只要M<4即可．正确选项D.(注：如果在两个 括号内分别使用基本不等式，则造成等号可能不同时成立 的情况)
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4．二元一次不等式组和简单的线性规划 (1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0的解集是平面直角坐标 系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区 域．二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的 平面区域的公共部分． (2)线性规划问题的主要概念：约束条件、目标函数、可 行解、可行域、最优解． (3)线性规划问题一般利用图象法求解．
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(2)设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条
x＋y≤50， 件 1.2x＋0.9y≤54， x≥0，y≥0
题型(频率) 选择(1)
考例(难度) 2008宁夏、海南 卷6(A) 2008宁夏、海南 卷12(C) 卷6(B)，2011
选择(1)
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题 2009宁夏、海南
考点3 简单
第4讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度：由于课程标准卷中有选考内容《不等式选 讲》，而不等式的解法可以放在导数试题中考查，因此在该部 分的命题主要从两个方面入手．第一个方面是从简单不等式的 应用入手，考查基本不等式在求简单的二元函数最值中的应 用，如2008年宁夏、海南卷第12题就是综合空间几何体的三视 图和基本不等式的应用命制的一道试题；第二个方面是从线性 规划入手，考查二元一次不等式表示的平面区域，以及简单的 线性规划问题的解法．
主干知识整合
第4讲 │ 主干知识整合
第4讲 │ 主干知识整合
1.不等式的基本性质 (1)a>b，b>c⇒a>c(传递性)； (2)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc(伸缩性)； (3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)； (4)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d(叠加性)； (5)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd(叠积性)； (6)a>b>0，n∈N ，n>1⇒a >b ； 性)．
＋
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4 1 4 1 方法2：由a＋b＝4，得b＝4－a，所以 a ＋ b ＝ a ＋ ， 4－a 4 1 4 1 令f(a)＝ a ＋ (0<a<4)，则f′(a)＝－ 2 ＋ 2 ＝ a 4－a 4－a a2－44－a2 8 2 2 ，令f′(a)＝0，解得在区间(0,4)的a＝ ，此即为 3 a 4－a 函数f(a)的极小值点，也是最小值点，代入可得f(a)的最小值 9 为 . 4

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方法3：设a＝4cos α，b＝4sin
2
2
π α，α∈0， 2 ，
cos2α＋sin2α cos2α＋sin2α 4 1 1 1 则a＋b＝ 2 ＋ ＝ ＋ cos α 4sin2α cos2α 4sin2α 1 sin2α cos2α 1 9 ＝1＋ ＋ ＋ ≥1＋ ＋1＝ ，等号当且仅当 4 cos2α 4sin2α 4 4 sin2α cos2α 8 2 2 ＝ ，即cos α＝2sin α时成立，解得此时a＝ ，b＝ cos2α 4sin2α 3 4 . 3
a <x< c－ ，下同方法1. 2
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[点评] 本例是解一个含有字母参数的一元二次不等式，基 本方法是求根法(直接分解因式求根、求根公式求根)和配方法．
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x－1 变式题 (1)不等式 ≤0 的解集为( ) 2x＋1 1 1 A.－2，1 B.－2，1 1 1 C.－∞，－2∪[1，＋∞) D.－∞，－2∪[1，＋∞) 2 (2)使不等式 2x －5x－3≥0 成立的一个充分不必要条件是 ) A．x≥0 B．x<0 或 x>2 1 1 C．x<－ D．x≤－ 或 x≥3 2 2