(1) 试将公路 MN 的长度表示为 α的函数，并写出 α的取值范围；
(2) 试确定 α的值，使得公路 MN 的长度最小，并求出其最小值 .
16. (本小题满分 14 分 )
已知在△ ABC 中， AB ＝ 6， BC＝ 5，且△ ABC 的面积为 9. (1) 求 AC 的长度；
π (2) 当△ ABC 为锐角三角形时，求 cos 2A ＋ 6 的值．
17. (本小题满分 14 分 )
如图， 射线 OA 和 OB 均为笔直的公路， 扇形 OPQ 区域 (含边界 )是一蔬菜种植园， 其中
2π 3 π 且圆心角为 3 的扇形，则此圆锥的体积为
________ ．
x≤ 4， 8. 若实数 x， y 满足 y≤ 3，
则 x 2＋ y2 的取值范围是 ________．
3x＋ 4y≥ 12，
9.已知各项都是正数的等比数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，若 4a4，a3，6a5 成等差数列，且
2.若复数 (a－ 2i)(1 ＋ 3i )(i 是虚数单位 )是纯虚数，则实数 a 的值为 ________．
3.若数据 31， 37， 33， a，35 的平均数是 34，则这组数据的标准差是 ________．
4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校 理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校
a3＝ 3a22 ，则 S3＝ ________．
22
10．在平面直角坐标系
xOy
中， 若双曲线
xa2－
y b
2＝
1(a>0
，b>0)
的渐近线与圆
x 2＋y 2－ 6y
＋5＝ 0 没有交点，则双曲线离心率的取值范围是 ________．
x
11．已知函数
1－ 4 f(x) ＝ sinx－ x＋ 2x ，则关于
二、 解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分 ) 如图，在直三棱柱 ABCA 1B 1C1 中，D ，E 分别为 AB ，AC 的 中点．
(1) 证明： B1C1∥平面 A 1DE ； (2) 若平面 A 1DE ⊥平面 ABB 1A 1，证明： AB ⊥DE.
x1， x2，…， xn 的方差
s2＝
1 n
n
∑i＝ 1(x
i
－
x)
2
，其中
1n x ＝ n∑i＝1x i.
棱锥的体积
V＝
1 3Sh，其中
S 是棱锥的底面积，
h 是高．
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1.若集合 A ＝ {x|1<x<3} ，B ＝ {0 ， 1， 2， 3} ，则 A ∩ B ＝ ________．
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13．已知函数 f(x) ＝ 2
若存在实数 k 使得该函数的值
－2|x－ 1|， x∈（ k， a]，
域为 [－ 2， 0]，则实数 a 的取值范围是 ________．
14．已知正实数 x， y 满足 5x2＋ 4xy－ y2＝ 1，则 12x2＋ 8xy － y2 的最小值为 ________．
P，Q 分别在射线 OA 和 OB 上．经测量得，扇形
OPQ 的圆心角
(即∠
POQ)为
2π 3
、半径为
1
千米．为了方便菜农经营，打算在扇形 OPQ 区域外修建一条公路 MN ，分别与射线 OA ，
OB 交于 M ， N 两点，并要求 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 S，设∠ POS＝ α单（位：弧度 )，假 设所有公路的宽度均忽略不计．
x 的不等式
f(1 － x 2)＋ f(5x － 7)<0 的解集为
________ ．
12．已知正△ ABC 的边长为 2，点 P 为线段 AB 中垂线上任意一点， Q 为射线 AP 上一
点，且满足 A→P ·A→Q ＝ 1，则 |C→Q|的最大值为 ________．
log 1（－ x ＋ 1）－ 1， x∈[ －1， k] ，
100 名男生的体重情况，整 2 000 名男生中体重在 70～
78(kg)的人数为 ________．
(第 4 题 )
(第 5 题)
5. 运行如图所示的流程图，输出的结果是 ________．
6. 已知从 2 名男生 2 名女生中任选 2 人，则恰有 1 男 1 女的概率为 ________．
7. 若圆锥的侧面展开图是面积为
2018 届高三年级第一次模拟考试 (六)
数
学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上，写在本试卷上无效。
参考公式：样本数据