新问题：工厂研制了一种新产品，估计单位利 润为cn+1，问是否投入生产，若投入生产， 求最优生产方案
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解：设x j 表示产品Bj的产量，（j 1,2, , n 1) max z c1 x1 c2 x2 cn xn cn 1 xn 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1n 1 xn 1 b1 a x a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 n 1 n 1 2 s.t : a x a x a x a x b mn n mn 1 n 1 m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , xn 1 0
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B 1 (b b) B 1b B 1b a1r br a1r 0 B 1b B 1 br B 1b air br B 1b br air 0 a b a mr r mr bi air br 0 max{ bi arj
最优基不变但最优解改变
若B 1 b 0： 最优基改变，由于CN- CBB-1N≤0不变,
用对偶单纯形法解决
3、A改变
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检验数、最优解、最优值改变
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总之：参数A、C、b的变化所产生的影响有： 最优解不变；最优基不变但最优解改变；最优基改变
当这些系数在什么范围内变化时，原最优解仍保
1 1

若C N C B B 1 N 0 ：新问题还没取到最优
在原最优单纯形表上 用单纯形法继续迭代
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例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关 数据如下表：问如何安排生产，使获利最多？
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max z 2 x1 x 2 5x 2 15 6x1 2 x 2 24 s.t. x1 x 2 5 x1, x 2 0
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技术参数灵敏度分析
增加或者减少一种或者多种产品
增加或者减少一种或者多个约束条件；
原有技术系数发生变化
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增加一个新变量的灵敏度分析
资源的合理利用问题：
某厂计划在下一个生产 周期内生产 B1，B2， ，Bn 种产品，要消 耗A1，A2， ，Am 种资源，已知每件产品 所消费的资源数、每种 资源的数量限制以及每 件产品可获得的利润如 下表，问如何安 排生产计划，才能充分 利用现有资源，使获得 的总利润最大？
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X B x1 , x2 ,, xm X N xm1 , xm2 , xn
CB c1 , c2 ,, cm
CN cm1 , cm2 , cn
b b1 , b2 ,, bm

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增加一个新变量xn+1 对问题： 1c x c x c x 1 c x z 1 1 C 2 , c 2 n n Nn,1 nP 1 Cmax C B N N C B B N n 1 B n 1 基B B
授课内容
线性规划常量分析
价格灵敏度分析
资源灵敏度分析
技术参数灵敏度分析 参数规划
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线性规划常量分析
某厂计划生产Bn种产品，消耗Am种资源，已知每件 产品消耗的资源数、资源数量限制以及每件产品获 得的利润如表，如何安排，获得的利润最大？
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解：设x j 表示产品B j的产量,（j 1, 2, , n) max z c1 x1 c2 x2 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 s.t am1 x1 am 2 x2 cn xn a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
是最优单纯形表的 s.t中基变量 xi 其中aij 所在行对应非基变量 x j的系数
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(CB CB ) B 1 A CB B 1 A (0, CB B 1 A Cr (ar1 ,
' j
Cr , 0) B 1 A
1
arn )
1
c j (CB CB ) B A c j CB B A Cr arj
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aij , bi , c j都是常数，但在建模 线性规划问题中，
时这些系数有可能采用的是估计值或预测值。 市场的变化 工艺的变化 资源的变化
研究内容：
c j 值变化
aij 值变化
bi 值变化
的变化对最优解的影响。
aij , bi , c j
2018/10/134源自例即 15 b1 15
结论：当劳动力的拥有 量在30至60之间时， 仍然不生产产品 B
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问题2
1/ 3 1/ 3 65 35/ 3 B b 1/ 5 2/ 5 30 1
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最优解X （ 10， 0， 0， 5， 0），最优值Z 30
问题1：当利润变为1.5；2时候，该公司的最优生产 计划如何变化？
问题2：产品Ⅱ的利润改变为1+Δc时候，那么Δc 在什么范围内变化时候，原最优解不变？
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最优单纯形表：
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问题1
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问题2
1 c 2 1 3
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a11 x1 a12 x 2 a1n x n a1n1 xn1 b1 1 1 CB CB a x a x C B N , C B P bb C , c B B n 1 a x b N n 1 a x 21 1 22 2 2n n 2 2 n 1 n 1 1 1 N N Pm1 ,, Pn，Pn1 C C B N , c C B P N B n 1 B n 1 N，Pn1 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n am n1 xn1 bm
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对问题：
增加一个新变量xn+1 设B P , P ,, P 1 2 m
N Pm1 , Pm2， , Pn
max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t : a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , xn 0
例：某工厂准备生产 A、B、C三种产品，他们都消 耗劳动力和材料，有关数据如表：
若市场对B产品有需求，问B的售价至少需涨至多 少才可考虑生产？ 设B产品的售价涨至4元，求最优生产方案？
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最优单纯形表：
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结论：若ci是基变量的系数，则当ci的改变量ci 在范围 j j 0, j N ci min | aij 0, j N max | aij aij aij 内时，最优解不变.
CB 0 0 0 -z 0 0 2500 -z 1500 0 2500 -z
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XB x3 x4 x5 x3 x4 x2 x1 x4 x2
θ i 32.5 40 25 5 7. 5
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对 max z CX , s.t : AX b, X 0
1、C改变：
当C变为C时，即 CB CN (C B C N )时, CN CB B N C N C B B N ,, Z CB B b Z C B B b 但B 1b 0不变,若C N C B B 1 N 0, 仍然为最优解。
Max z = 1500 x1 + 2500x 2 3x1 +2x 2 +x 3 = 65 2x +x +x = 40 1 2 4 s.t. 3x 2 +x 5 = 75 x1 ,x 2 ,x3 ,x 4 ,x 5 0
1500 x1 65 3 40 2 75 0 0 1500 15 (3) 15 2 25 0 -62500 1500* 5 1 5 0 25 0 -70000 0 2500 X2 2 1 (3) 2500* 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1/3 -2/3 0 -500 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 -2/3 -1/3 1/3 -2500/3 -2/ 9 1/9 1/3 -500
持不变？或者最优基保持不变但最优解有所改变？
若最优解发生变化，如何用最简单的方法找到现
行的最优解？
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价格灵敏度分析
当C变为C时，即 CB CN (C B C N )时 CN CB B 1 N C N C B B 1 N Z CB B 1b Z C B B 1b 1 X B b， 0 0不变，还是新问题的基本可行解 若C N C B B N 0 : X B b， 0 还是最优解
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问题1
最优单纯形表：
bk bk max | k1 0 b1 min | k1 0 k1 k1