考试题（A 卷）一、计算下列数列或函数的极限（请从三道题目中任选二道题，多选的话则按照前两道题目给分。

每题5分，合计10分）1. n211lim 1x n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭.解 （方法一）22n n22n(1)12111lim 1lim 11li 1.m x x n n n n x n n n n n e n →∞→∞--→∞-⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（方法二）222n 1nln 1211limnln 1limn 111lim 1li .m x x n n x x n n n n e n n eee e →∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞-⎛⎫-+⋅⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭====2.2()()limxx x t f t dtx →-⎰，其中()f x 是一个连续函数.解220()()()()limlim()()()lim2()(0)lim 22.xx xx x x x x x t f t dtx f t dt tf t dtxxf t dt xf x xf x xf x f →→→→--=+-===⎰⎰⎰⎰3. 求二元函数()()()()44,0,0lim2ln x y x y x y →++的极限. 解（方法一） 平面极坐标为(),ρθ。

由于()(),0,0x y →，不妨设11,22x y ≤≤，于是()()44444444max ,,21,414ln lnln 2ln 24ln ,x y x y x y x y ρρρρ≥+≥+=≤=-+所以()()()4402ln 6ln 22ln 0x y x y ρρ≤++≤-→()()()()44,0,0lim2ln 0x y x y x y →++=解（方法二） 有界量与无穷小量之积是无穷小量，所以()()()()()()()()()()44,0,01444441,0,0444lim2ln 2lim ln 0x y x y x y x y x y x y x y x y →→++⎡⎤+⎢⎥=⋅++=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦二、 （8分）过原点作抛物线()y f x ==D 是该切线与上述抛物线及x 轴围成的平面区域. 求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解 设切点为()00,x y ，则00y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解方程组得()()00,2,1x y =。

所求的旋转体是一个圆锥减去一个旋转抛物面，于是()22221112112()1.336V f x dx x dx πππππ=⋅⋅⋅-⋅=--=⎰⎰。

三、求下列积分（共2小题，每小题5分，共10分）：1. 2272x dx x x -+-⎰.解()2222227252251212=1212ln .1x x x x dx dxx x x x x dx x x dx x x x x C x -+---=+-+-+⎛⎫=- ⎪+-⎝⎭⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭+=++-⎰⎰⎰⎰2.arctan⎰.解做变量代换t =222222222arctan arctan arctan arctan arctan 11arctan 1(1)arctan 1(1)arctan tdt t t t t d t t t dt tt t dt t t t C t x C==-=-+⎛⎫=--=+-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰⎰四、（7分）证明220011cos sin 41sin cos x dx dx x x x xπππ=++++⎰⎰.解 做变量代换2x t π=-，则()2020022020202,2cos 1sin 222sin 1cos 2sin 1cos 1,2sin 1co cos 1sin cos 1sin s tdt t xt t t dt t tx dx x xdx xdxx xx xx x x x d πππππππππππππ-=-=-⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=++-=++=-++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰故22001.cos 1sin 4sin 1cos x dx dx x x x xπππ=++++⎰⎰五、（8分）求原点到直线20:210x z L y z -+=⎧⎨-+-=⎩ 的垂线方程. 解 直线的方向为1012012i j ki j k -=----， 设垂足为(),,P x y z ，则OP 与L 垂直，且在直线上，所以2021020x z y z x y z -+=⎧⎪-+-=⎨⎪---=⎩， 解方程得412,,333x y z =-==。

于是垂线方程为412333x y z==-，即412x y z ==-。

六、（7分）设()f x 在[]0,1连续可微，()00f =，证明在()0,1中存在一点ξ，满足()'1()()f f ξξξ-=.证明 设()()1()F x x f x =-，则该函数在闭区间[]0,1上连续，在()0,1上可导，且()(0)10F F ==。

根据罗尔定理，在()0,1中存在一点ξ，满足()''()1()()0F f f ξξξξ=--=，即'()()1f f ξξξ=-.七、（7分）求()f x x =在0x =点的带皮亚诺余项的3阶泰勒展式，并求(3)(0)f 的值.解()()()()()22342234233111122()1223!111128617224f x x x o x x x o x x x o x x x o x x x x o x ⎡⎤⎛⎫⋅- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++-+ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+-+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=+-+(3)(3)(0)77,(0)3!244f f ∴=-=-八、（7分）设2n 次多项式221()1(1)knkn k x P x k ==+-∑，分析多项式的单调性，由此证明该多项式没有零点.解 22'111()(1)1nnk k k x f x x x -=-+=-=+∑，()()()'0,1()01,101,x f x x x <∈-∞-⎧⎪<∈-⎨⎪>∈+∞⎩。

于是(][][),1()1,11,x f x x x ⎧∈-∞-⎪∈-⎨⎪∈+∞⎩严格单调下降严格单调下降严格单调上升，(][),1()1,x f x x ⎧∈-∞⎪⎨∈+∞⎪⎩严格单调下降严格单调上升 21()(1)1(1)1111111(11) (2345222120)knkk x f x f k n n n =≥=+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭>∑九、（7分）求由方程()2ln 1xy e x y -+=所确定的隐函数()y y x =的微分. 解()()()()()()()2222222222ln 010120122211.xy xy xy xy xy xy xy xy xy de d x y e d xy d x y x ye ydx xdy xdx dy x yx xe dy ye dx x y x y xye ye x y x x ydy dx dx xe x y xe x y-+=-+=++-+=+⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+-+++==+--+十、（7分）当0x →时，sin tan x x -是x 的多少阶无穷小量？ 解 因为()23330001tan 1cos sin tan 12lim lim lim2x x x x x x x x x x x x →→→⋅--=-=-=-， 根据无穷小量阶数的定义，sin tan x x -是x 的3阶无穷小量.十一、（8分）讨论函数(,)sin f x y x y =在(0,0)处的可微性. 解0000(,0)(0,0)0(0,0)limlim 020(0,)(0,0)0(0,0)lim lim 040x x x y y y f x f f x x f y f f x y →→→→-===--===-分分sin 5u x y∆=∆∆分(0,0)(0,0)60x y u f x f y ⎡⎤∆-∆+∆=→分8分按照微分的定义，该函数在(0,0)处可微。

8分 极限趋于0，两种处理方法 （方法一：夹逼定理）00ρ≤≤≤→（方法二：无穷小量与有界量相乘是无穷小量）(0,0)(0,0)sin 0u f x f y y ⎡⎤∆-∆+∆=∆→十二、（7分）设()22sin xy u e x y =+，求该函数的一阶偏导数与全微分. 解 用微分演算()()()()()()()()()()()()()()2222222222222222222222sin sin sin cos sin cos 22sin 2cos sin 2cos xy xy xy xy xyxyxy xy du x y de e d x y x y e d xy e x y d x y x y exdy ydx ex yxdx ydy e x x y y x y dy e y x y x x y dx=+++=++++=+++++⎡⎤⎡⎤=+++++++⎣⎦⎣⎦所以()()()()22222222sin 2cos ,sin 2cos .xy xy u e y x y x x y xu e x x y y x y y∂⎡⎤=+++⎣⎦∂∂⎡⎤=+++⎣⎦∂十三、（7分）设函数(),f x y 有连续的二阶偏导数，()()()010010,z f x t x x y t y y =+-+-， 求22d y dt. 解 根据复合函数链式法则()()1010dz f dx f dy f f x x y y dt x dt y dt x y∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂. 同理()()()()22101022210102d f f f x x y y dt x x x yd f f f x x y y dt y y x y∂∂∂⎛⎫=-+- ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂=-+- ⎪∂∂∂∂⎝⎭所以 ()()()()()()()()()()()()22210101022221010102222221010101022210102d z f f x x x x y y dt x x y f f y y x x y y y x y f f f x x x x y y y y x x y yx x y y f x y ⎡⎤∂∂=--+-⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎡⎤∂∂+--+-⎢⎥∂∂∂⎣⎦∂∂∂=-+--+-∂∂∂∂⎛⎫∂∂=-+- ⎪∂∂⎝⎭。