3 2 例3 已知点 (1,3) 为 y = ax + bx 的拐点， 求 a 和 b 的值
因为拐点一定在曲线上， 解 因为拐点一定在曲线上，所以
3= a+b LL (1)
y ′ = 3ax 2 + 2bx
y ′′ = 6ax + 2b
从而有 0 = 6a + 2b
即
LL (2)
3a + b = 0
(1)式和 式联立解得 式和(2)式联立解得 式和 式联立解得:
3 9 a=− ,b= 2 2
3、小结
A
B
o
a
b
x
上图可见： 上图可见： 切线斜率k↗ 凹曲线 ⇔ 切线斜率 ↗ ⇔ f ′( x )单增 ⇔
f ′′( x ) > 0
y
y = f (x)
B
A
o
a
b
x
上图可见： 上图可见： 切线斜率k↘ 凸曲线 ⇔ 切线斜率 ↘ ⇔ f ′( x )单减 ⇔ f ′′( x ) < 0
定理2.12 设函数 = f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数 设函数y 内的二阶导数 定理 在区间 内的 存在 (1)若在 若在(a,b)内 f ″(x) > 0 ,则曲线 y = f (x) 在区间 在区间(a,b) 若在 内 则曲线 内是凹 内是凹的； (2)若在 若在(a,b)内 f ″(x)< 0 ,则曲线 y = f (x)在区间 在区间(a,b) 若在 内 则曲线 在区间 内是凸 内是凸的。
线的上方，则称该曲线段在( )内是凹的, 线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方， 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲 线段在( )内是凸的, 为曲线的凸区间. 线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间. 为曲线的凸区间
例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 .
′ = 3 x 2 , y′′ = 6x , 解 Qy 当x < 0时， y′′ < 0,
∴曲线 在(−∞ ,0]为凸的； −∞ 为凸的； 当x > 0时，y′′ > 0, 为凹的； ∴曲线 在[0,+∞ )为凹的；
注意到： 注意到：
点( 0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
定义2.7 连续曲线 = f (x)上凹弧与凸弧的分界点 连续曲线y 定义 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点 称为曲的拐点. 拐点
曲线 y = x 3 的拐点是 (0,0)
注意：拐点一定在曲线上。 注意：拐点一定在曲线上。 函数凹凸性 凹凸区间
凹凸区间分界点（拐点） 凹凸区间分界点（拐点）
怎样判断曲线的拐点呢？ 怎样判断曲线的拐点呢？
前已述及:
凹曲线 ⇔ 切线斜率k↗ ⇔ f ′( x )单增 ⇔ f ′′( x ) > 0 切线斜率 ↗ 切线斜率k↘ 凸曲线 ⇔ 切线斜率 ↘ ⇔ f ′( x )单减 ⇔ f ′′( x ) < 0 所以: 所以 拐点 凹凸性分界点
f ′(x)单单性分界点
f ′′( x ) = 0 的点或 f ′′( x ) 不存在的点
在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸 在我们不知道曲线形状的时候 用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸 性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢 性显然是不可能的 如何方便地判断曲线的凹凸性呢? 如何方便地判断曲线的凹凸性呢
2.曲线凹凸性的判定 曲线凹凸性的判定
y
y = f (x)
的凹凸区间及拐点． 例2 求曲线 f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 2 x − 5 的凹凸区间及拐点． 解 (1) 函数的定义域为 (−∞,+∞)
f ′( x ) = 4 x 3 − 12 x 2 + 2
f ′′( x ) = 12 x 2 − 24 x = 12 x( x − 2)
(2) 令 f ′′( x ) = 0 , 得 x 1 = 0 ,
x2 = 2
(3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点: 列表考察函数的凹凸区间及拐点: x f"(x) f (x) (-∞,0) ＋ 凹 0 0
拐点 (０，–５) ０ ５
(0,2) － 凸
2 0
拐点 （2，–17） ， ）
(2, +∞) ＋ 凹
一 定 成 立 不 向 反 但
例如
例如
f ( x) = x 4
f ( x) = x
4 3
总之 ， 曲线 y = f ( x )的拐点一定是 f ′′( x ) = 0 的点或 f ′′( x ) 不存在的点 ， 但 f ′′( x ) = 0 的点或 f ′′( x ) 不存在 的点不一定是 y = f ( x ) 的拐点
据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤: 据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:
(1)求函数 的定义域; (1)求函数y=f(x)的定义域; 求函数 的定义域 (2)求出 的点和f“ 不存在 (2)求出f“(x)，找出定义域内使 求出 ，找出定义域内使f”(x)=0的点和 (x)不存在 的点和 的点； 的点； (3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 (3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ 的符号 的符号； 个小区间，考察每个小区间上 (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点. 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.
第四节 导数的应用
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点： 观察下列两图的特点：
y = f (x)
y B y A
y = f (x)
A o x
B
o
x
１.曲线凹凸性的定义 曲线凹凸性的定义
y
y = f (x)
A
B
y
y = f (x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切 若在某区间( ) 定义