7．1探索直线平行的条件7．1．1同位角、内错角、同旁内角如图7.1-1，直线AB ，CD 与EF 相交（也可以说两条直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截），构成八个角．我们看那些没有公共顶点的两个角的位置关系．观察∠l 和∠5、∠3和∠5、∠3和∠6有何不同的位置特征？图7.1-1中的∠l 和∠5．这两个角分别在直线AB ，CD 的同一方（上方），并且都在直线EF 的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角（corresponding angles ）．∠3和∠5，这两个角都在直线AB ，CD 之间，并且分别在直线EF 两侧（∠3在直线EF 左侧，∠5在直线EF 右侧），具有这种位置关系的一对角叫做内错角（alternate interior angles ）．图7.1-1中∠3和∠6也都在直线AB ，CD 之间，但它们在直线EF 的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角（interior angles on the same side ）．例如图7.1-2．直线DE ，BC 被直线AB 所截．（1）∠1和∠2，∠1和∠3．∠1和∠4各是什么位置关系的角？（2）如果∠1＝∠4．那么∠l 和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？答：（1）∠1和∠2是内错角，∠l 和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角．图中还有与∠l 和∠5、∠3和∠5、∠3和∠6是同样位置关系的角吗？标记出它们．AB CDEF12345678图7.1-11234AB CDE图7.1-2（2）如果∠1＝∠4，由对顶角相等，得∠2＝∠4，那么∠1＝∠2．因为∠4和∠3互补，即∠4＋∠3＝180°，又因为∠1＝∠4，所以∠1＋∠3＝180°，即∠1和∠3互补．1．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．2．如图，∠B 与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C 进行同样的讨论．练习12345687a bc（第1题）（第2题）abc 1234ABCDE1．如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？2．图中的∠1和∠2，∠3和∠4各是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有怎样位置关系的角？3．指出图中各对角的位置关系：（1）∠C 和∠D 是角;（2）∠B 和∠GEF 是角；（3）∠A 和∠D 是角．4．如图，两条直线a ,b 相交，请你再画一条直线c 构成八个角，并分别找出与∠1是同位角、内错角、同旁内角的角．习题ABCD 1234A（第1题）A BCD1234（第2题）A BCDE FG （第3题）（第4题）1ab5．下列图中∠1与∠2，∠3与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？是什么角？6．已知，如图：（1）指出DC 和AB 被AC 所截得的内错角;（2）指出AD 和BC 被AE 所截得的同位角;（3）指出∠4与∠7，∠2与∠6，∠ADC 与∠DAB 是什么关系的角，并指出是哪两条线被哪一条线所截得到的．abcdl12341234A BCD A B CDE FG1234BCDA 1234（第5题）图①图②图③图④（第6题）ABC D 4738E125697．1．2平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行．但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，那么，有没有其他判定方法呢？我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线（图7.1-3）．请在图7.1-4中过点P 画直线AB 的平行线CD ．并思考如下问题：这种方法蕴含什么样的数学原理？如何检验AB 平行CD ？如果没有直尺，只有三角尺你可以画出AB 的平行线吗？从图7.1-3中可以看出，原来的两条直线AB 、CD 通过添加截线EF 构成图7.1-5，这就有可能借助于相关角的大小关系来判定AB 、CD 是否平行．事实上，可以看出，画直线AB 的平行线CD ，实际上就是过点P 画与∠2相等的∠1，而∠2和∠1正是直线AB 、CD 被直线EF 截得的同位角，这说明，如果同位角相等，那么AB ∥CD ．一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的方法：判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．∠1与∠2的大小就是三角尺的同一个角的大小．图7.1-3A BP图7.1-4ABCDE FG H P12图7.1-5简单文字语言：同位角相等，两直线平行．符号语言：∵∠1＝∠2，∴a ∥b （同位角相等，两直线平行）例1在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？分析：垂直总与直角联系在一起，进而用判断两条直线平行的方法进行判定．解：这两条直线平行，理由如下：如图7.1-6．∵b ⊥a （已知），∴∠1＝90°（垂直的定义）．同理∠2＝90°．∴∠1＝∠2（等量代换）．∴b ∥c （同位角相等，两直线平行）．bac 12∠2＝90°与∠1＝90°的证明过程完全一样，为了简洁性，用“同理”体现相同的思路．12abc图7.1-6文字语言记忆内容;符号语言逻辑证明;图形语言直观印象．1．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE ，使DE ∥BC ．如果∠ABC ＝31°，∠ADE应为多少度？2．如图，已知直线l 1、l 2被直线AB 所截，AC ⊥l 2于点C ．若∠1＝50°，∠2＝40°，则l 1与l 2平行吗？为什么？3．如图，直线l 1、l 2被直线l 3所截，∠1＝∠2．直线l 1、l 2平行吗？为什么？4．已知：如图，CD 平分∠ACB ，∠DCB ＝40°，∠AED ＝80°．求证DE ∥BC ．5．已知：如图，CBA 、CDE 都是射线，点F 是∠ACE 内一点且∠1＝∠C ，∠1＝∠2．试判断FD ∥AC 吗？为什么？6．（1）如图，以B 为顶点，射线BC 为一边，用直尺和圆规作∠CBE ，使得∠CBE ＝∠CAD ；（2）在所作的图中，BE 与AD 平行吗？为什么？习题12A BC l 1l 2（第2题）（第1题）l 1l 2l 312（第3题）A BCD E（第4题）ABCDE F 12（第5题）ABCD（第6题）我们已经知道，通过添加一条截线，我们利用角的大小关系来判定直线的平行关系，并且通过实践得出“同位角相等，两条直线平行”的基本事实，那么是否还有其他方法快速判定两条直线平行呢？两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么能利用内错角，或同旁内角来判定两条直线平行呢？如图7.1-7，如果∠2＝∠3，能得出以a ∥b 吗？这样，由判定方法1，可以得出利用内错角判定两条直线平行的另一种方法：判定方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单文字语言：内错角相等，两直线平行．几何语言：利用同旁内角，有判定两条直线平行的第三种方法：判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．小明利用两块同样的三角板，按下面的方法作出平行线．你认为他的作法对吗？为什么？b ac1234图7.1-7例2如图7.1-8，当∠1＝∠3时，直线a 、b 平行吗？当∠2+∠3＝180°时，直线a 、b 平行吗？为什么？ba c 123图7.1-81．如图，一个弯形管道ABCD 的拐角∠ABC ＝120°，∠BCD ＝60°，这时说管道AB ∥CD 对吗？为什么？2．根据图中所给出的条件，找出互相平行的直线和互相垂直的直线．3．如图，∠1＝∠2，∠B ＋∠BDE ＝180°．指出图中互相平行的直线，并说明理由．4．如图，这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分．其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？5．如图，E 是AB 上一点，F 是DC 上一点，G 是BC 延长线上一点．（1）如果∠B ＝∠DCG ，可以判断哪两条直线平行？为什么？（2）如果∠D ＝∠DCG ，可以判断哪两条直线平行？为什么？（3）如果∠D +∠DFE ＝180°，可以判断哪两条直线平行？为什么？习题（第1题）abcde 50°40°40°40°（第2题）12A BC D EF （第3题）ABCD E FG（第5题）（第4题）6．已知：如图∠1＝∠3，∠2＝∠3．求证：AB ∥CD ．7．如图，点C 在∠AOB 的平分线OP 上，点D 在OA 上，∠DOC ＝∠DCO ．DC 与OB 有怎样的位置关系？为什么？8．已知：如图，直线AB 、CD 被直线ED 所截，∠1＝130°,∠2＝50°．求证：AB ∥CD ．（请用三种方法证明）9．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：A 1B 1AB 、AA 1AB 、A 1D 1C 1D 1、ADBC ．你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下．10．已知：如图，AP 平分∠BAC ，CP 平分∠ACD ，∠BAP ＋∠DCP ＝90°．AB 与CD平行吗？为什么？11．深入探究：对于课本例题2，你能得出新的判定两条直线平行的方法吗？试着按照两直线平行的判定方法2、3的形式，将其进行完整的归纳总结．如图，当∠1＝∠3时，直线a 、b 平行吗？当∠2+∠3＝180°时，直线a 、b 平行吗？为什么？312A BC DE（第6题）ABCD OP （第7题）12A BCDEF （第8题）ABCDP（第10题）（第9题）ba c 123（第11题）7．2探索平行线的性质7．2．1平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是我们下面要学习的平行线的性质．类比于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条直线截得的同位角的关系．如图7.2-1，利用练习本上的直线，或者用直尺和三角尺画两条平行线a ∥b ，然后画一条截线c 与这条平行线相交，度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：∠1，∠2，…∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？再任意画一条直线d ，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？一般地，平行线具有性质：性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．在之前的学习中，我们利用＂同位角相等，两直线平行＂推出了＂内错角相等，两直线平行＂．类似地，你能由性质1，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？例1如图7.2-2，已知a ∥b ，c 是截线．求证：∠1＝∠2．证明：∵a ∥b ，a c db12345678图7.2-1a bc132图7.2-2∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．于是，我们就得到了平行线的另一个性质：性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．类似地，由＂两直线平行，同位角相等＂，我们可以推出平行线关于同旁内角的性质（请你自己完成推理过程）：例2如图7.2-3，已知a ∥b ，c 是截线．求证：∠1＋∠2＝180°．性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．例3如图7.2-4，直线a ∥b ，∠1＝54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？a b13c2图7.2-3a123b4图7.2-41．如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ．判断AF 与ED 是否平行，并说明理由．2．在下面的括号内，填上推理的根据．如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠B ．求证∠C ＝∠D ．证明：∵∠A ＝∠B ，∴AC ∥BD （_____________________________）．∴∠C ＝∠D （_____________________________）．练习ABC DEF （第1题）AO BCD（第2题）1．选择题（1）如图1，由AB ∥CD ，可以得到（）．（A ）∠1＝∠2（B ）∠2＝∠3（C ）∠1＝∠4（D ）∠3＝∠4（2）如图2，如果AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC ＋∠ACE ＋∠CEF ＝（）．2．如图，在四边形ABCD 中，如果AD ∥BC ，∠A ＝60°，求∠B 的度数．不用度量的方法，能否求得∠D 的度数？3．如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截．（1）从∠1＝110°可以知道∠2是多少度？为什么？（2）从∠1＝110°可以知道∠3是多少度？为什么？（3）从∠1＝110°可以知道∠4是多少度？为什么？4．如图，a ∥b ，c ，d 是截线，∠1＝80°，∠5＝70°．∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？（A ）180°（B ）270°（C ）360°（D ）540°习题ADCB（第2题）ABCD E1234（第3题）A 1CBD234（图1）ABCDEF（图2）4dabc5312（第4题）5．如图，直线DE 经过点A ，ED ∥BC ，∠B ＝44°，∠C ＝57°．（1）∠DAB 、∠EAC 分别等于多少度？为什么？（2）∠BAC 等于多少度？（3）在这些问题的基础上，你还得到什么启发？6．如图，l 1∥l 2，l 3⊥l 1．l 3与l 2有怎样的位置关系？为什么？7．如图，CD ∥EF ，DE ∥AC ．图中有哪些角相等？为什么？8．如图，AD ∥EF ，∠1＋∠2＝180°．∠1与∠BAD 相等吗？为什么？l 3l 1l 2（第6题）AEDCB（第5题）ABCDEF（第7题）21ABCDE FG（第8题）7．3定义、命题、证明、互逆命题7．3．1定义与命题人们在说理的时候，常常使用一些名称或术语，经常要判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等．对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义（definition）．例如：（1）“数轴上表示一个数的点与原点的距离”是“一个数的绝对值”的定义．（2）“能使方程两边的值相等的未知数的值”是“方程的解”的定义．（3）“在同一平面内，不相交的两条直线”是“平行线”的定义．判断一件事情的句子叫做命题（proposition）．例如，下面的句子都是命题：（1）如果O是线段AB的中点，那么AO＝BO．（2）无论x是什么数，代数式(x－1)2的值不是负数．（3）如果a＞0，b＜0，那么︱a︱＝︱b︱．（4）同位角相等，两直线平行．（5）对顶角相等．还有一些句子，例如：（1）同位角相等吗？（2）过一点画已知直线的垂线．这些句子没有对某一件事情做出判断，这样的句子就不是命题．命题由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论．有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出条件和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式．例如:命题条件结论如果a ＞0，b ＜0，那么︱a ︱＝︱b ︱a ＞0，b ＜0︱a ︱＝︱b ︱同位角相等，两直线平行同位角相等两直线平行对顶角相等两个角是对顶角这两个角相等命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．1．下列各命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果a 、b 两数的积为0，那么a 、b 两数都为0；（2）如果两个角互为补角，那么这两个角的和是180°；（3）两直线平行，同旁内角互补；（4）两条直线相交，只有一个交点；（5）有公共顶点的两个角是对顶角；（6）相等的角是对顶角．2．第2题中各个命题做出的判断正确吗？上面的命题（2）、（3）、（4）都是正确的，就是说，如果条件成立，那么结论成立．像这样的命题叫做真命题（true proposition ）．还有一些命题，如上面的命题（1）、（5）、（6），这些命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立．像这样的命题叫做假命题（false proposition ）．举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明是假命题，这样的例子成为反例．要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的条件，但不满足结论就可以了．例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：图7.3-1中，OC 是∠AOB 的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．图7.3-112ABCO练习1．尝试说出一元一次方程的定义．2．下列各命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果a＜0，b＜0，那么a＋b＜0；（2）如果n＜1，那么n2－1＜0；（3）同角的补角相等；（4）直角都相等；（5）同位角相等．3．在第1题的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是假命题，请举出反例．习题1．下列句子是不是命题？（1）延长线段AB到点C；（2）两点之间线段最短；（3）∠α与∠β相等；（4）2月份有4个星期日；（5）用量角器画∠AOB＝90°；（6）任何数的平方都不小于0吗？2．下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果a＝c，b＝c，那么a＝b；（2）如果a＜－1，那么ab＜－b；（3）平方后等于4的数是2；（4）两直线平行，内错角相等；（5）垂直于同一条直线的两条直线平行；（6）两个锐角的和是锐角；（7）同旁内角互补．3．第2题的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是假命题，请举出反例．4．根据线段的垂直平分线的定义，说一说：（1）线段的垂直平分线的一种判定方法；（2）线段的垂直平分线的两个性质．5．下列语句中，哪些是命题？（1）锐角都小于直角；（2）你的作业做完了吗？（3）所有的质数都是奇数；（4）过直线l外一点P作l的平行线；（5）如果明天是星期五，那么后天是星期六．6．将下列命题写成“如果……那么……”的形式，分别说出它的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题：（1）垂直于同一直线的两条直线平行；（2）两个锐角的和是钝角；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）负数小于0．7．下列命题中哪些是假命题？为什么？（1）如果x－52＝3－x3，那么x＝4；（2）各边分别相等的两个多边形一定能相互重合；（3）如果a≠0，b≠0，那么a2＋ab＋b2＝（a+b）2．8．分别指出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题：（1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形能相互重合；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）两直线平行，同位角相等．9．指出下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举出一个反例．（1）如果a为实数，那么｜a｜＞ 0；（2）一个三角形中至少有两个锐角；（3）如果∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ也互余．7．3．2证明观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段．通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是这些结论不一定正确．前面，我们曾把一些真命题作为基本事实，并从基本事实出发证实了有关平行线的一些结论．在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明（proof ）．经过证明的真命题称为定理（theorem ）．下面，我们以证明命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”为例，来说明什么是证明．例1如图7.3-2，已知直线b ⊥a ，c ⊥a ．求证：b //c．证明：∵b ⊥a （已知）．∴∠1＝90°（垂直的定义）．∵c ⊥a （已知），∴∠2＝90°（垂直的定义）．∴∠2＝∠1（等量代换）．∴b //c （同位角相等，两直线平行）．你还有其他思路来证明吗？证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：（1）根据题意，画出图形；（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程．例2如图7.3-3，已知直线EF 分别交直线AB 、CD 于点M 、N ，AB //CD ，MG 平分∠EMB ，NH 平分∠END ．求证：MG //NH ．证明：∵AB //CD （已知），∴∠EMB ＝∠END （两直线平行，同位角相等），∵MG 平分∠EMB ，NH 平分∠END （已知），∴∠EMG ＝12∠EMB ，∠ENH ＝12∠END （角平分线的定义）．一个量用与它相等的量代替叫“等量代换”．证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等．12abc图7.3-2NMHGFE DC BA图7.3-3∴∠EMG＝∠ENH（等量代换）．∴MG//NH（同位角相等，两直线平行）．1．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．2．已知：如图，AE ∥BC ，∠1＝∠2．求证：∠B ＝∠C ．3．已知：如图，AB ∥DE ，BC ∥EF ．求证：∠B ＝∠E ．4．已知：如图，∠A ，∠B ，∠1，∠2，∠3都等于60°．求证：AB ∥CE ．（用三种方法证明）5．已知：如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ．求证：∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ．习题12A BCDE（第2题）A B C DEFG（第3题）ABCDE123（第4题）ABCD（第5题）6．已知：如图，AB ∥CD ，直线MN 分别与AB ,CD 交于点E ，点G ，EF ∥GH ．求证：∠1＝∠2．7．已知：如图，∠1＝∠4，∠2＝∠3．求证：AB ∥CD ．8．已知：如图，AB ∥DF ，BC ∥DE ．求证：∠1＝∠2．9．已知：如图，AB ∥CD ，AC ∥DE ，CD ∥EF ，DE ∥FG ．求证：∠A ＝∠F ．12A B CDEFGH M N （第6题）A B CDE F 1234（第7题）A BC DE F12（第8题）AB C DE FG（第9题）7．3．3互逆命题以下有两组命题，请你观察以下并命题完成表格．第一组：①同位角相等，两直线平行；②两直线平行．同位角相等．第二组：③如果x2＝1，那么x＝1；④如果x＝1，那么x2＝1．观察表格中的内容，你有什么发现？在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做“原命题”，另一个叫做原命题的“逆命题”．原命题成立，逆命题不一定成立．说出下列命题的逆命题，并判断原命题的逆命题的真假性，如果是假命题，请你举出反例．（1）如果a2＝b2，那么a＝b；（2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一个平角；（3）末位数字是5的数，能被5整除；（4）锐角与钝角互为补角．数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．在你已经学过的命题中，试举出两个命题：它们不仅是互逆命题，而且都是真命题．像“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”……这样的两个命题是互逆命题，且都是真命题．根据命题“同位角相等，两直线平行”，可以判断两条直线相互平行；反过来，根据命题“两直线平行，同位角相等”，可以推出两条平行直线具有的一个性质．例1证明：平行于同一条直线的两条直线平行．已知：如图7.3-4，直线a 、b 、c 中，b ∥a ，c ∥a ．求证b ∥c ．证明：作直线a 、b 、c 的截线d ．∵b ∥a （已知）,∴∠2＝∠1（两直线平行,同位角相等）．∵c ∥a （已知）,∴∠3＝∠1（两直线平行,同位角相等）．∴∠2＝∠3（等量代换）．∴b ∥c （同位角相等,两直线平行）．下面，我们从基本事实出发，证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题成立．例2如图7.3-5，已知直线b ∥c ，a ⊥b ．求证：a ⊥c ．证明：∵a ⊥b ，∴∠1＝90°（垂直的定义）．∵b ∥c ，∴________________（），∴________________（）．例3如图7.3-6，已知AB ∥CD ，AB 、DE 相交于点G ，∠B ＝∠D ．求证：DE ∥BF ．证明：1．判断下列各组命题是否为互逆命题：（1）“正方形的4个角都是直角”与“4个角都是直角的四边形是正方形”；该命题的逆命题为：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条线．练习213ab c d图7.3-412acb图7.3-5GFEDCBA图7.3-6（2）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；（3）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；（4）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．2．举反例说明下列命题是假命题：（1）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（2）任何数的平方大于0；（3）两个锐角的和是钝角；（4）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点．1．写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假．（1）如果ab ＝0，那么a ＝0；（2）自然数是整数；（3）内错角相等；（4）互为相反数的两个数和为零．2．举反例说明下列命题是假命题．（1）质数都是奇数；（2）如果a ＞b ，那么(a ＋b )(a －b )＞0．3．下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若x ＝0，x (x －2)＝0．它们的逆命题一定成立的有（）．（A ）①②③（B ）①③（C ）②③（D ）②4．如图，已知AB ∥CD ，∠CDE ＝68°，EF 平分∠BED ，∠DEF ＝47°，则∠B 等于（）．（A ）26°（B ）27°（C ）28°（D ）29°5．命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是____________________．6．如图，BE 是射线，（1）AD ∥BC ，（2）∠B ＝∠C ，（3）AD 平分∠EAC ．请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题的真假性．习题ECBDA （第6题）ABCDEF（第4题）7．（1）如图，∠B ＋∠D ＝∠BED ，求证：AB ∥CD ．（2）你在（1）的证明过程中，运用了哪些互逆的真命题？8．（1）如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，填写下列空格：∵EC ∥FD （已知），∴∠F ＝________（____________________）．∵∠F ＝∠E （已知），∴________＝∠E （____________________）．∴________∥________（____________________）．（2）说出（1）的推理中应用了哪两个互逆的真命题．9．（1）已知：如图，直线AB 、CD 、EF 被直线BF 所截，∠B ＋∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B ＋∠F ＝180°．（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．12ABCDE F（第8题）ABCDE（第7题）C DA B EG 1F23（第9题）7．4图形的平移如果把在一个平静水面上平稳漂流的竹筏看做四边形ABCD ，那么，竹筏在水面上由一个位置漂流到另一个位置，就像图7.4-1所示的四边形ABCD 移动到四边形A'B'C'D'的位置，四边形ABCD 移动之后形状和大小是否发生了变化？我们知道，将三角尺的一边紧靠着固定的直尺推动，可以画出平行线．如图7.4-2，将三角尺看成三角形ABC 沿直线移动一定距离到三角形A'B'C'的位置，三角形移动前后的形状和大小没有发生变化．在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation ）．平移不改变图形的形状、大小．图形的平移的方向，不限于水平的，如图，三角形ABC 的移动是沿着BB'的方向，移动的距离是线段BB'的长．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．如图7.4-2，点A 、B 、C 平移之后的对应点分别是点A'、B'、C'．在图7.4-3中，画出四边形ABCD 向左平移6格再向上平移2格，得到四边形A'B'C'D'，再画出对应点的线段AA'、BB'、CC'、DD'，试说出AA'、BB'、CC'、DD'之间的关系．通过操作与观察，我们可以得到如下结论：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．画出四边形A'B'C'D'的关键是确定点A'、B'、C'、D'的位置．图7.4-1图7.4-2A'C'B'D'图7.4-3例1如图7.4-4（1），平移三角形ABC ，使点A 移动到点A'，画出平移后的三角形A'B'C'．解：如图7．4-4（2），连接AA'，过点B 作AA'的平行线l ，在l 上截取BB'＝AA'，则点B'就是点B 的对应点．类似地，你能作出点C 的对应点C'，并进一步得到平移后的三角形A'B'C'吗？动手试一试．平移在我们日常生活中是很常见的，如图7．4-5，利用平移也可以制作很多美丽的图案．你还能举出生活中的有关平移的实例吗？图7.4-4ABClA 'B 'A BC A '（1）（2）（图7．4-5）1．如图，在图案（2）、（3）、（4）中，哪个是由图案（1）向右平移得到的？练习（第1题）2．图中的4个小三角形都是等边三角形，边长都是1.2cm ．通过平移三角形ABC ，可以得到图中哪几个三角形？分别说出三角形ABC 平移的方向和距离．F BDA E C （第2题）3．平移所给的图形，使点A 移动到A'的位置，画出平移后所得的图形．（第3题）AA'1．如图，请画出把线段AB 、CD 分别按箭头所指的方向平移3cm 后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段、平行的线段．2．如图，有一个由4个三角形组成的图形，通过平移，你能用它组成什么图案？试一试，把你的图案与同学们交流一下．3．如图，在方格纸中平移三角形ABC ，使点A 移到点M ，点B 和点C 应移到什么位置？再将点A 由点M 移到点N ，分别画出两次平移后的三角形，如果直接平移三角形ABC ，使点A 移到点N ，它和我们前面得到的三角形位置相同吗？4．如图，三角形ABC 经过平移得到三角形A'B'C'．说出三角形ABC 的平移方向，并量出平移的距离．AO EBCPFDD （第1题）（第2题）（第3题）AB C A 'B 'C '（第4题）习题5．如图，经过平移五边形ABCDE 的顶点A 移动到点A'，请作出平移后的五边形A'B'C'D'E'．6．许多美丽的图案都是用平移的方法绘制而成的．观察下面图案的绘制规律，你能类似地设计一些图案吗？7．如图，用平移方法说明怎样得出平行四边形的面积公式S ＝ah ．8．如图，在一块长为a m ，宽为b m 的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，求这块草地的绿地面积．（第8题）（第6题）ABCDA '（第5题）。