提升套餐练02一、多选题1．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）A ．样本中支出在[)50,60元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数为132C ．n 的值为200D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[)50,60元 【答案】BC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定. 【详解】样本中支出在[)50,60元的频率为()10.010.0240.036100.3-++⨯=，故A 错误； 样本中支出不少于40元的人数为0.03660601320.03⨯+=，故B 正确； 602000.3n ==，故n 的值为200，故C 正确； 若该校有2000名学生，则可能有0.32000⨯=600人支出在[50，60）元，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征. 2．下列有关说法正确的是（ ）A ．当0x >时，1lg 2lg x x +≥；B ．当0x >时，2≥；C ．当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin θθ+的最小值为；D ．当0a >，0b >时，114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立【答案】BD 【解析】 【分析】由基本不等式的条件和结论判断． 【详解】A. 当01x <<时，lg 0x <，1lg 2lg x x+≥不成立，错误； B. 当0x >0>2≥，正确； C. 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设sin t θ=，则01t <<，2sin sin θθ+2t t=+，函数2y t t =+在(0,1)上递减，无最小值，C错，实际上2sin sin θθ+≥=2sin sin θθ=，即sin θ=是不可能的，即D. 当0a >，0b >时，12a a +≥，12b b +≥，∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，D 正确、故选：BD ． 【点睛】本题考查基本不等式，解题时注意基本不等式的条件，特别注意在用基本不等式求最值时，等号成立的条件能否满足．3．已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到【答案】BC 【解析】 【分析】先将()2221f x sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可．【详解】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设()2g x x =n，则()222442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n ，结论错误．故选：BC ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.二、解答题5．（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求,a b ;（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值． 【答案】（Ⅰ）2a b ==；（Ⅱ）2A π=或6A π=【解析】试题分析：（Ⅰ）由ABC ∆的面积等于3及3C π=可得333-，再由余弦定理可得228a b +=，解得2a b ==；（Ⅱ）先对sin sin()2sin 2C B A A +-=进行三角变换，化简得sin cos 2sin cos B A A A =，由此可得cos 0A =或sin 2sin B A =，分别得2A π=或6A π=．试题解析：（Ⅰ）根据三角形面积公式可知：11sin 222S ab C ===推得333-； 又根据三角形余弦公式可知：2222214cos 228a b c a b C ab +-+-===推得228a b +=．[ 综上可得2a b ==．（Ⅱ）sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-= sin cos 2sin cos B A A A =当cos 0A =时，2A π=当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立224{2a b ab b a +-==，得a b ==222b a c=+，,36C A ππ=∴=Q ， 综上2A π=或6A π=．解二：sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-= sin cos 2sin cos B A A A =当cos 0A =时，2A π=当cos 0A ≠时，212sin sin sin()sin 322A B A A A π==-=+，3sin 02)0,650,,6660.66A A A A A A A Q 即πππππππ∴=-=<<∴-<-<∴-==综上2A π=或6A π=．考点：1正弦定理与余弦定理；2．三角变换；3．三角形面积公式． 6．公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.【答案】（1）n a n =；（2）2nn b n =+，()()12212n n n n T +=+-. 【解析】 【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,故()()222141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++()()()()122121212122n n n n n n -+=+=-++-.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.7．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒.现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P .点M 、N 分别在PC 、PD 上，且A 、B 、M 、N 四点共面.（1）求证：//,a b ；（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，平面BMN 与平面BCD 夹角为30°，求PC 与平面BMN 所成角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2) 155【解析】 【分析】(1)本题首先可以设2AB =，通过题意即可得出AD 的长，然后根据余弦定理即可计算出BD 的长并根据勾股定理判断出AB BD ⊥，最后根据线面平行的相关性质即可得出//AB MN 并证得MN BD ⊥； (2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出PC 与平面BMN 所成角的正弦值。

【详解】（1）不妨设2AB =，则4AD =，在ABD ∆中，根据余弦定理可得2222BD AB AD AB AD COSA =++n n ，计算得23BD = 因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥.因为//CD AB ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以//CD 平面ABMN .又平面ABMN ⋂平面PCD MN =，所以//CD MN . 而CD BD ⊥，故MN BD ⊥.（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥， 因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30︒，所以30DBN ∠=︒， 从而在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点， 如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,2P，()C，()N，()M ，()1,0,0NM =u u u u r，()BN =u u u r，()2PC =-u u u r ，设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则由00n NM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，得0x z =⎧⎪+=，令1y =，得(0,1,n r =.设PC 与平面BMN 所成角为θ，则()sin 90n PC cos n PCθθ︒⋅=-==⋅u u ur r u u u r r【点睛】本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。