01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2；理由：如解图，连接CG ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠CDG ＝45°，AD ＝CD ，DG ＝DG ， ∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG ， 又∵GE ⊥DC ，GF ⊥BC ，∠BCD ＝90°， ∴四边形CEGF 是矩形，∴CF ＝GE ，在Rt △GFC 中，由勾股定理得，CG 2＝GF 2＋CF 2， ∴AG 2＝GE 2＋GF 2；(2)如解图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，∵GF ⊥BC ，∠ABG ＝∠GBC ＝45°， ∴∠BAM ＝∠BGF ＝45°，∴△ABM ，△BGF 都是等腰直角三角形， ∵AB ＝1， ∴AM ＝BM ＝22，∵∠AGF ＝105°， ∴∠AGM ＝60°， ∴tan60°＝AM GM， ∴GM ＝66， ∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A BCD FEG10题图考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF =DE =13CD =2，设BG =FG =x ，则CG =6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x +2）2，解得x =3．所以BG =3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG =BG =GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GCF ，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ； ④错误．过F 作FH ⊥DC ， ∵BC ⊥DH ， ∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ， ∴FH GC =EFEG， EF =DE =2，GF =3， ∴EG =5，∴FH GC =EF EG =25， ∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =12×3×4﹣12×4×（25×3）=185≠3． 故选C ．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．A B CD FEG10题03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可证出结论；（2）根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，∵CE=CE，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵∠DEB=140°，∵△BEC≌△DEC，∴∠DEC=∠BEC=70°，∴∠AEF=∠BEC=70°，∵∠DAB=90°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°．答：∠AFE的度数是65°．点评：本题主要考查对正方形的性质全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．04如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）（2）求∠AFB的度数．（5分）【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE．∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，∴∠ADE=∠BCE=30°．∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE．∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，∴∠DAE=∠AFB．∵AD=CD=DE，∴∠DAE=∠DEA．∵∠ADE=30°，∴∠DAE=75°，∴∠AFB=75°．05如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG ．（1）求证：①DE ＝DG ； ②DE ⊥DG（2）尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： （4）当n CB CE 1时，请直接写出DEFGABCD 正方形正方形S S 的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°． 又∵CE ＝AG ， ∴△DCE ≌△GDA ， ∴DE ＝DG ， ∠EDC ＝∠GDA ，又∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°， ∴∠ADE ＋∠GDA ＝90°， ∴DE ⊥DG ． （2）如图．（3）四边形CEFK 为平行四边形． 证明：设CK ．DE 相交于M 点，∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，EF ＝DG ，EF ∥DG ， ∵BK ＝AG ， ∴KG ＝AB ＝CD ，∴四边形CKGD 是平行四边形， ∴CK ＝DG ＝EF ，CK ∥DG ，∴∠KME ＝∠GDE ＝∠DEF ＝90°， ∴∠KME ＋∠DEF ＝180°， ∴CK ∥EF ，∴四边形CEFK 为平行四边形． （4）122DEFGABCD +=n n S S 正方形正方形． 点评：此题考查的知识点是正方形的性质．全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂。

06如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=2OA；（4）AE2+CF2=2OP?OB，正确的结论有（）个．A、1B、2C、3D、4考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

分析：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角．解答：解：（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对．故（1）错误．（2）△OBE的面积和△OFC的面积相等，故正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，故（2）正确．（3）BE+BF是边长，故BE+BF=OA是正确的．（4）因为AE=BF，CF=BE，故AE2+CF2=2OP?OB是正确的．故选C．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．07在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系请写出你的猜想，并加以证明．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。

【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明．【解答】解：（1） EG=CG，EG⊥CG．（2分）（2）EG=CG，EG⊥CG．（2分）证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=12FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=12∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．（2分）∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2分）【点评】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．08如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。