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❖可微分与连续
偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续.
这是因为, 如果zf(x, y)在点(x, y)可微, 则
zf(xx, yy)f(x, y) AxByo(),
于是
lim z 0 ,
0
从而
lim f (xx, y y) lim [ f (x, y)z] f (x, y) .
dz z x z y . >>> x y
❖应注意的问题
偏导数存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.>>>
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❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续.
❖可微分的必要条件
如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导
数
z x
、
z y
必定存在,
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设 uf (x, y, z), 则 du u dx u dy u dz . x y z
例例3 计算函数 u xsin y eyz 的全微分. 2
解 因因为为 u 1 , u 1 cos y zeyz , u yeyz ,
x y 2 2
z
所以 所以 du dx(1 cos y zeyz)dy yeyzdz . 22
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二*、全微分在近似计算中的应用
当函数zf(x, y)在点(x, y)的两个偏导数fx(x, y), fy(x, y)连续, 并且|x|, |y|都较小时, 有近似等式
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y ,
即
f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y .
可表示为
z Ax By o() ( (x)2 (y)2 ) ,
其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数zf(x, y) 在点(x, y)可微分, 而AxBy称为函数zf(x, y)在点(x, y)的全 微分, 记作dz, 即
dzAxBy. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分.
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
fx(x, y)x
fy(x, y)y ❖全增量
————函数f(x, y)对x的偏微分 ————函数f(x, y)对y的偏微分
zf(xx, yy)f(x, y).
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❖全微分的定义 如果函数zf(x, y)在点(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y)
且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为
dz
z x
xz yBiblioteka y.❖可微分的充分条件
如果函数
zf(x
,
y)的偏导数
z x
、
z y
在点(x,
y)连续,
则函数在该点可微分.
以上结论可推广到三元及三元以上函数.
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❖叠加原理
按着习惯, x、y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的 微分, 这样函数zf(x, y)的全微分可写作
所以
f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y x yyx y1xx yln x y,
(1.04)2.02 1221210.0412ln10.02 1.08.
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我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.
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zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大
到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例5 计算(1.04)2.02的近似值. 解 设函数 f(x, y)x y. 显然, 要计算的值就是函数在 x1.04, y2.02时的函数值f(1.04, 2.02). 取x1, y2, x0.04, y0.02. 因为
的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,
则有
V r2h.
已知r20, h100, r0. 05, h1, 根据近似公式, 有
VdV VrrVhh 2rhrr2h 2201000.05202(1)
200 (cm3), 即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm3.
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(x,y)(0,0)
0
因此函数zf(x, y)在点(x, y)处连续.
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❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续.
❖可微分的必要条件
如果函数zf(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导
数
z x
、
z y
必定存在,
且函数 zf(x, y)在点(x, y)的全微分为
§8.3 全微分及其应用
一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用
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一、全微分的定义
❖偏增量与偏微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, f(xx, y)f(x, y) ——函数f(x, y)对x的偏增量
例1 计算函数zx2yy2的全微分.
解解 因因为为 z 2xy , z x2 2y ,
x
y
所以
dz2xydx(x22y)dy.
例2 计算函数zexy在点(2, 1)处的全微分.
解 因为 z yexy , z xexy ,
x
y
所以
z x
x2 y1
e2
,
z y
x2 y1
2e2
,
dze2dx2e2dy.
dz
z x
dx
z y
dy
.
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为
二元函数的微分符合叠加原理.
叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全
微分为
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz
.
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设 zf(x, y), 则 dz z dx z dy . x y