专题3 数列与概率一、单选题1．某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（）A．100000元B．95000元C．90000元D．85000元【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为元，故2018年的就医费用为12750元，所以该教师2018年的家庭总收入为元.故选D2．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（）A．2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B．2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%C．2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D．2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点【答案】C【解析】观察表中数据知A,B,D正确，对选项C，2018年2月CPI环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C错误故选：C3．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选：B．4．在等比数列中，已知，且，，成等差数列则的前5项和为A．31 B．62 C．64 D．128【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，，，，解得．又，，成等差数列，，，解得的前5项和为，故选：B．5. 设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（）A．-343 B．-324 C．-320 D．-243【答案】A【解析】∵解得∴设当0<x<7时，当x>7时，,故的最小值为f(7)=-343.故选：A.6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A.二、填空题7．在递增的等比数列中，，，则__________．【答案】【解析】由等比数列的性质可得，所以，，又因为为递增的等比数列，所以，即，所以又，所以，所以8．的展开式中的系数为__________．【答案】40【解析】（2x﹣y）5展开式的通项公式为：T r+1＝•（2x）5﹣r（﹣y）r＝25﹣r（﹣1）r x5﹣r y r．令5﹣r＝2，得r＝3；令5﹣r＝3，得r＝2；∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3系数为：22×（﹣1）3×+23×（﹣1）2×＝40．故答案为：40．9．若已知随机变量，则____．【答案】【解析】随机变量，则．故答案为：．10. 设等差数列的前项和为.若，则______．【答案】65【解析】在等差数列中，由，可得，即，即，，故答案为65.11．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为，若该同学本次测试合格的概率为，则_______．【答案】【解析】由题意可得：，整理可得：，即,该方程存在唯一的实数根.故答案为： 0.412．已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．【答案】【解析】数列的首项，则：常数故数列是以为首项，3为公差的等差数列．则：首项符合通项．故：，，，由于数列的前n项和恒成立，故：，则：t的最小值为，故答案为：．三、解答题13. 已知数列的前项和为，且．（1）求，；（2）若，的前项和为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，得，，得，所以，即．当时，，当时，适合上式，所以．（2）当为偶数时，，当为奇数时，，综上所述，14．已知正数数列{a n}的前n项和为Sn，满足，. （1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，若是递增数列，求实数a的取值范围．【答案】（1）a n=n；（2）（-1，+∞）．【解析】解：（1），=S n-1+S n-2，（n≥3）．相减可得：，∵a n＞0，a n-1＞0，∴a n-a n-1=1，（n≥3）．n=2时，=a1+a2+a1，∴=2+a2，a2＞0，∴a2=2．因此n=2时，a n-a n-1=1成立．∴数列{a n}是等差数列，公差为1．∴a n=1+n-1=n．（2）=（n-1）2+a（n-1），∵{b n}是递增数列，∴b n+1-b n=n2+an-（n-1）2-a（n-1）=2n+a-1＞0，即a＞1-2n恒成立，∴a＞-1．∴实数a的取值范围是（-1，+∞）．15.已知数列的前项和为，且，（其中为常数），又. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，，解得，即，----①当时， ----②①-②得，即，∵ 不满足上式，∴（2）依题意得当时，，当时，两式相减得：.显然当时，符合上式∴16.高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目语文、数学、外语，“”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择门作为选考科目，其中语、数、外三门课各占分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、分、分、分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分.（1）求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.【答案】(1)70分 (2) (3)【解析】（1），此次考试物理成绩落在内的频率依次为，概率之和为小明的物理成绩为分，大于分.小明物理成绩的最后得分为分.（2）因为40名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96；赋分分的有人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为；（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，小明的所有可能选法有：共种，其中包括化学的有共种，若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为.17．某中学共有名学生，为调查该校学生每周平均参加体育运动的时间，按性别采用分层抽样的方法，收集了名学生每周平均参加体育运动的时间（单位：小时），分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）已知这名学生中，有的女生每周平均参加体育运动的时间不足小时，且每周平均参加体育运动的时间不足小时的男生人数与女生人数之比为．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”；男生女生合计每周平均参加体育运动的时间不足小时每周平均参加体育运动的时间不低于小时合计（Ⅱ）该校决定从每周平均参加体育运动的时间在和内的学生中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，然后再从这名学生中随机抽取名学生进行面谈，用表示抽取的名学生中每周平均参加体育运动的时间在内的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．参考公式及数据：，．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由题可得，这名学生中，有名学生每周平均参加体育运动的时间不足小时，其中男生有名，女生有名，每周平均参加体育运动的时间不低于小时的女生有名，由此可得补充完整的列联表如下：男生女生合计每周平均参加体育运动的时间不足小时每周平均参加体育运动的时间不低于小时合计所以的观测值．所以没有的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”．（Ⅱ）由题意可知，每周平均参加体育运动的时间在内的有名学生，在内的有名学生，则在内的学生中应抽取名，在内的学生中应抽取名，所以的所有可能取值为，，，因为，，，所以的分布列为所以．18．近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表，为收费标准（单位：元/日），为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准与“入住率”的散点图如图x 50 100 150 200 300 400t 90 65 45 30 20 20（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的概率分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（结果保留一位小数）（3）若一年按天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额最大？（年销售额入住率收费标准）参考数据：【答案】（1）见证明；（2）（3）最大值约为元【解析】（1）的所有可能取值为.则，的分布列（2）由散点图可知更适合于此模型.其中，所求的回归方程为（3）令若一年按天计算，当收费标准约为元/日时，年销售额最大，最大值约为元.19．今有9所省级示范学校参加联考，参加人数约5000人，考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.（1）计算联考成绩在137分以上的人数.（2）从所有试卷中任意抽取1份，已知分数不超过123分的概率为0.8.①求分数低于103分的概率.②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同,表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出的分布列，并求出数学期望.参考数据：，，.【答案】（1）114人；（2）①② .【解析】（1）设本次联考成绩为，由题意知在正态分布中，，，因为，所以，故所求人数为（人）.（2）①.②由题意易知故，，，，，，0 1 2 3 4 5.20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200 800第1次通过科目二人数960 600第1次未通过科目二人数240 200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费..（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.，，，，.则的分布列为：400 600 800 1000 1200故 (元).。