2019年河北省石家庄市中考数学一模试卷一、选择题：（本大题有16个小题，共42分1-10小题各3分；116小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣2的倒数为（）A．B．C．﹣2D．22．（3分）某微生物的直径用科学记数法表示为5.035×10﹣6m，则该微生物的直径的原数可以是（）A．0.000005035m B．0.00005035mC．503500000m D．0.05035m3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）一个长方形的正投影不可能是（）A．正方形B．矩形C．线段D．点5．（3分）解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（）A．﹣2x＝1﹣（2﹣x）B．﹣2x＝（2﹣x）+1C．2x＝（x﹣2）﹣1D．2x＝（x﹣2）+16．（3分）如图，一艘货船在A处，巡逻艇C在其南偏西60°的方向上，此时一艘客船在B处，艇C在其南偏西20°的方向上，则此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是（）A．80°B．60°C．40°D．30°7．（3分）的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．（3分）某科普小组有5名成员，身高（单位：cm）分别为：160，165，170，163，172．把身高160cm 的成员替换成一位165cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A．平均数变小，方差变小B．平均数变大，方差变大C．平均数变大，方差不变D．平均数变大，方差变小9．（3分）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1：2，物体沿传送带上升到点B时，距离地面的高度为3米，那么斜坡AB的长度为（）A．3米B．5米C．米D．6米10．（3分）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务11．（3分）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0，当﹣6＜k＜0时，该方程解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定13．（3分）若△ABC的每条边长增加各自的50%得△A'B'C'，若△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是（）A．9B．6C．5D．214．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且BO＝2CO，若△ABC的面积为18，则k的值为（）A．12B．18C．20D．2415．（3分）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（）A．B．C．D．16．（3分）已知点B（﹣2，3），C（2，3），若抛物线l：y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，则整数n的个数是（）A．10B．9C．8D．7二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分.把答案写在题中横线上）17．（3分）﹣8的立方根是．18．（3分）已知3x＝5，3y＝2，则3x+y的值是．19．（6分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，如图所示，把正方形放置在正六边形外，使OK边与AB边重合，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；此时点O经过路径的长为．若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中点B，O之间距离的最大值是．三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（6分）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x2+5x+6，翻开纸片③是3x2﹣x ﹣2．解答下列问题（1）求纸片①上的代数式；（2）若x是方程2x＝﹣x﹣9的解，求纸片①上代数式的值．21．（9分）学校为了提高学生跳远科目的成绩，对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练．王老师为了了解学生的训练情况，强化训练前，随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试，经过一个月的强化训练后，再次测得这部分学生的成绩，将两次测得的成绩制作成如图所示的统计图和不完整的统计表（满分10分，得分均为整数）成绩/分数6分7分8分9分10分人数/人1385n 根据以上信息回答下列问题（1）训练后学生成绩统计表中n＝，并补充完成下表：平均分中位数众数训练前7.58训练后8（2）若跳远成绩9分及以上为优秀，估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少？（3）经调查，经过训练后得到9分的五名同学中，有三名男生和两名女生．王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告，请用列表或画树状图的方法，求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．22．（9分）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：（1）请写出：算式⑤；算式⑥；（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．23．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴的正半轴上，OA＝6，点B在直线y＝上，直线l：y＝kx+与折线AB﹣BC有公共点．（1）点B的坐标是；（2）若直线l经过点B，求直线l的解析式：（3）对于一次函数y＝kx+（k≠0），当y随x的增大而减小时，直接写出k的取值范围．24．（9分）如图，∠BCD＝90°，且BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA ⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）当α＝125°时，∠ABC＝°；（2）求证：AC＝CE；（3）若△ABC的外心在其内部，直接写出α的取值范围．25．（9分）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，两人拿绳子的手之间的距离为4m，离地面的高度为1m，以小明的手所在位置为原点，建立平面直角坐标系．（1）当身高为1.5m的小红站在绳子的正下方，且距小明拿绳子手的右侧1m处时，绳子刚好通过小红的头顶，求绳子所对应的抛物线的表达式；（2）若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方．①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时，绳子能碰到小丽的头吗？请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm，为保证绳子不碰到小丽的头顶，求d的取值范围．（参考数据：取3.16）26．（9分）如图1，点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上，以点O为圆心，以24为半径作半圆，分别交直线l于A，B两点．已知：CD＝18，CF＝24，矩形自右向左在直线l上平移，当点D到达点A 时，矩形停止运动．在平移过程中，设矩形对角线DF与半圆的交点为P（点P为半圆上远离点B 的交点）．（1）如图2，若FD与半圆相切，求OD的值；（2）如图3，当DF与半圆有两个交点时，求线段PD的取值范围；（3）若线段PD的长为20，直接写出此时OD的值．2019年河北省石家庄市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题有16个小题，共42分1-10小题各3分；116小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣2的倒数为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．2．（3分）某微生物的直径用科学记数法表示为5.035×10﹣6m，则该微生物的直径的原数可以是（）A．0.000005035m B．0.00005035mC．503500000m D．0.05035m【分析】把用科学记数法表示的数还原，就是把小数点往左边平移，然后添0即可．【解答】解：5.035×10﹣6化成原数，把小数点往左移6位，即0.000005035．故选：A．3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．4．（3分）一个长方形的正投影不可能是（）A．正方形B．矩形C．线段D．点【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．故长方形的正投影不可能是点，故选：D．5．（3分）解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（）A．﹣2x＝1﹣（2﹣x）B．﹣2x＝（2﹣x）+1C．2x＝（x﹣2）﹣1D．2x＝（x﹣2）+1【分析】分式方程两边乘以（x﹣2）即可得到结果．【解答】解：去分母得：2x＝（x﹣2）+1，故选：D．6．（3分）如图，一艘货船在A处，巡逻艇C在其南偏西60°的方向上，此时一艘客船在B处，艇C在其南偏西20°的方向上，则此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是（）A．80°B．60°C．40°D．30°【分析】将轮船航行的实际问题转化为方向角的问题解答．【解答】解：从图中我们可以发现∠ACB＝60°﹣20°＝40°．故选：C．7．（3分）的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得x＞2，由②得x≥3，故此不等式组的解集为：x≥3．在数轴上表示为：故选：C．8．（3分）某科普小组有5名成员，身高（单位：cm）分别为：160，165，170，163，172．把身高160cm 的成员替换成一位165cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A．平均数变小，方差变小B．平均数变大，方差变大C．平均数变大，方差不变D．平均数变大，方差变小【分析】根据平均数、中位数的意义、方差的意义，可得答案．【解答】解：原数据的平均数为×（160+165+175+163+172）＝166（cm）、方差为×[（160﹣166）2+（165﹣166）2+（170﹣166）2+（163﹣166）2+（172﹣166）2]＝19.6（cm2），新数据的平均数为×（165+165+170+163+172）＝167（cm），方差为×[2×（165﹣167）2+（170﹣167）2+（163﹣167）2+（172﹣167）2]＝11.6（cm2），所以平均数变大，方差变小，故选：D．9．（3分）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡比为1：2，物体沿传送带上升到点B时，距离地面的高度为3米，那么斜坡AB的长度为（）A．3米B．5米C．米D．6米【分析】作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，∵BC＝3m，∴AC＝6m，∴AB＝＝3（m），故选：A．10．（3分）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，∵所列分式方程为﹣＝30，∴为实际工作时间，为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．故选：C．11．（3分）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，根据三角形内角和定理求出∠CAE，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：连接AC、CE，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC＝180°﹣∠B＝58°，∵＝，∴∠ACE＝∠AEC＝58°，∴∠CAE＝180°﹣58°﹣58°＝64°，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D＝180°﹣64°＝116°，故选：B．12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0，当﹣6＜k＜0时，该方程解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定【分析】先计算出判别式得到△＝16+4k，由k的取值范围可求解．【解答】解：∵△＝16+4k，且﹣6＜k＜0∴当﹣6＜k＜﹣4时，△＜0，方程没有实数根；当k＝﹣4时，△＝0，方程有两个相等实数根当﹣4＜k＜0时，△＞0，方程有两个不相等实数根故选：D．13．（3分）若△ABC的每条边长增加各自的50%得△A'B'C'，若△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是（）A．9B．6C．5D．2【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的50%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．故选：A．14．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且BO＝2CO，若△ABC的面积为18，则k的值为（）A．12B．18C．20D．24【分析】设出A点的坐标，从而表示出线段CB，AB的长，根据三角形的面积为18，构建方程即可求出k的值．【解答】解：设A点的坐标为，则OB＝a，AB＝，∵BO＝2CO，∴CB＝，∴△ABC的面积为：＝18，解得k＝24，故选：D．15．（3分）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解答】解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；B、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；D、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；故选：B．16．（3分）已知点B（﹣2，3），C（2，3），若抛物线l：y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，则整数n的个数是（）A．10B．9C．8D．7【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为3或当x＝﹣2时y≥3，当x＝2时y＜3，列不等式组求解可得．【解答】解：①当抛物线的顶点在直线y＝3上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣6）＝0，解得：n＝7；②当抛物线的顶点在x轴下方时，根据题意知当x＝﹣2时y≥3，当x＝2时y＜3，即，解得：﹣2≤n＜6，整数n有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，7共9个，故选：B．二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分.把答案写在题中横线上）17．（3分）﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．18．（3分）已知3x＝5，3y＝2，则3x+y的值是10．【分析】原式逆用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵3x＝5，3y＝2，∴原式＝3x•3y＝10，故答案为：1019．（6分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，如图所示，把正方形放置在正六边形外，使OK边与AB边重合，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；此时点O经过路径的长为π．若按此方式旋转，共完成六次，在这个过程中点B，O之间距离的最大值是．【分析】通过旋转，如图，易知点O旋转的角转为150°，即可以求出点O的路径的长度即为；点B、点O的最大距离，即当点O运动到最高点时与点B的距离．【解答】解：如图点O的运动轨迹如虚线所示，第二次旋转时，点O的位置为O'，＝＝；在运动过程中，点B，O间的距离d的最大值为线段BK＝BD+DK＝故答案为：；三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（6分）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x2+5x+6，翻开纸片③是3x2﹣x ﹣2．解答下列问题（1）求纸片①上的代数式；（2）若x是方程2x＝﹣x﹣9的解，求纸片①上代数式的值．【分析】（1）根据整式加法的运算法则，将（4x2+5x+6）+（3x2﹣x﹣2）即可求得纸片①上的代数式（2）先解方程2x＝﹣x﹣9，再代入纸片①的代数式即可求解【解答】解：（1）纸片①上的代数式为：（4x2+5x+6）+（3x2﹣x﹣2）＝4x2+5x+6+3x2﹣x﹣2＝7x2+4x+4（2）解方程：2x＝﹣x﹣9，解得x＝﹣3代入纸片①上的代数式得7x2+4x+4＝7×（﹣3）2+4×（﹣3）+4＝55即纸片①上代数式的值为5521．（9分）学校为了提高学生跳远科目的成绩，对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练．王老师为了了解学生的训练情况，强化训练前，随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试，经过一个月的强化训练后，再次测得这部分学生的成绩，将两次测得的成绩制作成如图所示的统计图和不完整的统计表（满分10分，得分均为整数）成绩/分数6分7分8分9分10分人数/人1385n 根据以上信息回答下列问题（1）训练后学生成绩统计表中n＝3，并补充完成下表：平均分中位数众数训练前7.57.58训练后8.388（2）若跳远成绩9分及以上为优秀，估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少？（3）经调查，经过训练后得到9分的五名同学中，有三名男生和两名女生．王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告，请用列表或画树状图的方法，求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．【分析】（1）利用强化训练前后人数不变计算n的值；利用中位数对应计算强化训练前的中位数；利用平均数的计算方法计算强化训练后的平均分；利用众数的定义确定强化训练后的众数；（2）用500分别乘以样本中训练前后优秀的人数的百分比，然后求差即可；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的两名同学恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）n＝20﹣1﹣3﹣8﹣5＝3；强化训练前的中位数为＝7.5；强化训练后的平均分为（1×6+3×7+8×8+9×5+10×3）＝8.3；强化训练后的众数为8，故答案为3；7.5；8.3；8；（2）500×（﹣）＝125，所以估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了125人；（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名同学恰好是一男一女的结果数为12，所以所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率＝＝．22．（9分）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：（1）请写出：算式⑤112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝40＝8×5；算式⑥132﹣112＝（13+11）×（13﹣11）＝48＝8×6；（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．【分析】（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n；（3）举反例，如42﹣22＝（4+2）（4﹣2）＝12．【解答】解：（1）112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝40＝8×5；132﹣112＝（13+11）×（13﹣11）＝48＝8×6；故答案为：112﹣92＝（11+9）×（11﹣9）＝40＝8×5；132﹣112＝（13+11）×（13﹣11）＝48＝8×6；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n∵n为整数，∴两个连续奇数的平方差能被8整除；（3）不成立；举反例，如：42﹣22＝12，∵12不是8的倍数，∴这个说法不成立．23．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴的正半轴上，OA＝6，点B在直线y＝上，直线l：y＝kx+与折线AB﹣BC有公共点．（1）点B的坐标是（8，6）；（2）若直线l经过点B，求直线l的解析式：（3）对于一次函数y＝kx+（k≠0），当y随x的增大而减小时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）OA＝6，即BC＝6，代入y＝x，即可得出点B的坐标（2）将点B的坐标代入直线l中求出k即可得出解析式（3）一次函数y＝kx+（k≠0），必经过（0，），要使y随x的增大而减小，即y值为0≤y≤，分别代入即可求出k的值．【解答】解：∵OA＝6，矩形OABC中，BC＝OA∴BC＝6∵点B在直线y＝上，∴6＝x，解得x＝8故点B的坐标为（8，6）故答案为（8，6）（2）将点B（8，6）代入y＝kx+得6＝8k+，解得k＝∴直线l的解析式：y＝x+（3）∵一次函数y＝kx+（k≠0），必经过（0，），要使y随x的增大而减小∴y值为0≤y≤，∴代入y＝kx+（k≠0），解得24．（9分）如图，∠BCD＝90°，且BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA ⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）当α＝125°时，∠ABC＝125°；（2）求证：AC＝CE；（3）若△ABC的外心在其内部，直接写出α的取值范围．【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可求解；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．【解答】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ABC＝∠PDC＝α＝125°，故答案为125；（2）∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，又BC＝DC，由（1）知：∠ABC＝∠PDC，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AC＝CE；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，而45°＜α＜135°，故：45°＜α＜90°．25．（9分）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，两人拿绳子的手之间的距离为4m，离地面的高度为1m，以小明的手所在位置为原点，建立平面直角坐标系．（1）当身高为1.5m的小红站在绳子的正下方，且距小明拿绳子手的右侧1m处时，绳子刚好通过小红的头顶，求绳子所对应的抛物线的表达式；（2）若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方．①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时，绳子能碰到小丽的头吗？请说明理由；②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm，为保证绳子不碰到小丽的头顶，求d的取值范围．（参考数据：取3.16）【分析】（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx（a≠0），把小亮拿绳子的手的坐标（4，0），以及小红头顶坐标（1，1.5﹣1）代入，得到三元一次方程组，解方程组便可；（2）①由自变量的值求出函数值，再比较便可；②由y＝0.65时求出其自变量的值，便可确定d的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx（a≠0），∵1.5﹣1＝0.5，∴抛物线经过点（4，0）和（1，0.5），∴，解得，，∴绳子对应的抛物线的解析式为：y＝；（2）①绳子能碰到小丽的头．理由如下：∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处，∴小丽距原点4﹣2.5＝1.5（m），∴当x＝2.5时，y＝﹣，∵1+0.625＝1.625＜1.65，∴绳子能碰到小丽的头；②∵1.65﹣1＝0.65，∴当y＝0.65时，0.65＝﹣即10x2﹣40x+39＝0，解得，x＝，∵取3.16，∴x1＝2.316，x2＝1.684，∴4﹣2.316＝1.684，4﹣1.684＝2.316，∴1.684≤d≤2.316．26．（9分）如图1，点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上，以点O为圆心，以24为半径作半圆，分别交直线l于A，B两点．已知：CD＝18，CF＝24，矩形自右向左在直线l上平移，当点D到达点A 时，矩形停止运动．在平移过程中，设矩形对角线DF与半圆的交点为P（点P为半圆上远离点B 的交点）．（1）如图2，若FD与半圆相切，求OD的值；（2）如图3，当DF与半圆有两个交点时，求线段PD的取值范围；（3）若线段PD的长为20，直接写出此时OD的值．【分析】（1）如图2，连接OP，则DF与半圆相切，利用△OPD≌△FCD（AAS），可得：OD＝DF＝30；（2）利用cos∠ODP＝，求出HD＝，则DP＝2HD＝；DF与半圆相切，由（1）知：PD＝CD＝18，即可求解；（3）设：PG＝GH＝m，则：OG＝，DG＝20﹣m，tan∠FDC＝＝＝，求出m＝，利用OD＝，即可求解．【解答】解：（1）如图2，连接OP，∵DF与半圆相切，∴OP⊥FD，∴∠OPD＝90°，在矩形CDEF中，∠FCD＝90°，∵CD＝18，CF＝24，则FD＝＝30，∵∠OPD＝∠FCD＝90°，∠ODP＝∠FDC，PO＝CF＝24，∴△OPD≌△FCD（AAS），∴OD＝DF＝30；（2）如图3，当点B、D重合时，过点O作OH⊥DF与点H，则DP＝2HD，∵cos∠ODP＝，而CD＝18，OD＝23，由（1）知DF＝30，∴，∴HD＝，则DP＝2HD＝，DF与半圆相切，由（1）知：PD＝CD＝18，∴18＜PD≤；（3）设半圆与矩形对角线交于点P、H，过点O作OG⊥DF，则PG＝GH，tan∠FDC＝＝＝tanα，则cosα＝，设：PG＝GH＝m，则：OG＝，DG＝20﹣m，tan∠FDC＝＝＝，整理得：25m2﹣640m+1216＝0，解得：m＝，OD＝＝＝8±12．。