21.2.1 配方法解一元二次方程（王鹏鹏）第二课时一、教学目标 （一）学习目标3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程. （二）学习重点用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. （三）学习难点 配方法的综合应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤：（1）化二次项系数为1：两边同除以 二次项的系数 ； （2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ； （4）将原方程变成()2x m n +=的形式；（5）判断右边代数式的符号，若0n ≥，可以直接开方求解；若0n <原方程无解.2.预习自测（1）()22________8+=++x x x【知识点】配方法【思路点拨】常数项是一次项系数一半的平方.1.进一步理解配方法和配方的目的.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．【答案】()228164x x x ++=+ （2）()22________-=+-x x x【知识点】配方法【思路点拨】常数项是一次项系数的一半的平方.(3)()222___82____x x x ++=+【知识点】配方法【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】()()22228824422x x x x x ±+=±+=±【答案】82±±，(4)()2233___3____4x x x -+=-【知识点】配方法【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方. 【解题过程】【答案】132±±，(二)课堂设计 1.知识回顾(1).根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx + n ）2=p （p≥0）的一元二次方程. (2).用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.(3).在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根. 2.问题探究●活动① 以旧引新 (1)()229________xx x ++=+能用上节课学过的二次项系数为1的二次三项式的配方法将问题（1）解决吗？学生答：常数项等于一次项系数的一半的平方，是814，所以结果为：22819942x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭老师问：根据二次项系数为1的二次三项式的配方法，小组讨论一下我们怎么将系数不为1的二次三项式配方？学生答：先将二次项的系数提出来，将括号内的二次三项式的二次项系数化为1.再按照二次项系数为1的二次三项式的配方法进行配方. 那我们请一位同学给大家演示一下. (2)23612x x --解：()()()222236123243153115x x x x x x --=--⎡⎤=--⎣⎦=--【设计意图】由二次项系数为1的二次三项式配方得出二次项系数不为1的二次三项式配方的方法.●活动② 大胆猜想，探究新知 那我们试着解一下方程： （3）236120x x --=有的学生采用的方法（一）： 有的学生采用方法（二）：()()()()()22222212361203240315031150311515111x x x x x x x x x x x --=--=⎡⎤--=⎣⎦--=-=-=-=== ()()2222123612024015015111x x x x x x x x x --=--=--=-=-===比较两种方法哪种更简单【设计意图】问题（3）学生联想、尝试、对比在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锻炼了学生的思维能力.通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想重要意义. ●活动③ 集思广益，归纳方法用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤：（1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；（2）移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； （4）将原方程变成()2x m n +=的形式；（5）判断右边代数式的符号，若0n ≥，可以直接开方求解；若0n <原方程无解. 【设计意图】体会数学思想方法在数学中的地位和作用探究二 利用配方法解一元二次方程.●活动① 配方法的练习例1．已知()22212x x a b x c ++=+，求,,a b c 的值.【知识点】 配方法【解题过程】 ()()222212269232918,2,3x x ax x x a b c ++=++=+∴=⨯===【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方. 【答案】 （1）18，2，3【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. 练习1.已知()224x x a b x c --+=+，求,,a b c 的值.【知识点】 配方法【解题过程】()()()222244424,1,2x x a b x c x x x a b c --+=+=-++=-+∴=-=-=【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方. 【答案】 （1）-4，-1，2【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. 例2. 二次三项式2243x x ++的值（ ）A.小于1B.大于1C.大于等于1D.不大于1 【知识点】 配方法【解题过程】()()()22222432212132112101x x x x x x ++=++-⨯+=+++≥∴≥Q 原式【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值. 【答案】 C练习2. 已知代数式2916x kx ++是完全平方式，则k 等于（ ） A.12 B.12± C.24 D.24± 【知识点】 完全平方式【解题过程】()()229163423424x kx x k ++=±∴=⨯⨯±=±【思路点拨】根据()2222a b a ab b +=++，一次项的系数等于2倍,a b 系数乘积. 【答案】 D【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质. ●活动② 利用配方法解一元二次方程 例3 . 用配方法解方程：2213m m += 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】解：222221223133132424314163144314411,2-=-⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭-=±=±==m m m m m m m m m【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2x m n -=的形式，直接开方法求解. 【答案】1211,2m m ==【设计意图】感受配方法解系数不为1的一元二次方程的本质. 练习3.用配方法解方程：22740x x +-= 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】22222122747772244781416794479441, 4.2+=⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=⎪⎝⎭+=±=-±==-x x x x x x x x x【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2x m n -=的形式，直接开方法求解. 【答案】121,42x x ==-【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程是（ ）A.246x x +=-B.2245x x -=C.245x x -= D.222x x +=-【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()222.46,442,22A x x x x x +=-∴++=-∴+=-，无实数解；()2222557.245,2,211,1222B x x x x x x x -=∴-=∴-+=+∴-=，有实数解，但方程两边同时加上的数不是4；()222.45,4454,29C x x x x x -=∴-+=+∴-=有实数，且方程两边同时加上的数是4；()222.22,2121,11D x x x x x +=-∴++=-+∴+=-，无实数解.【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2x m n -=的形式.若0n ≥，则有实数解.同时注意所加的数是否是4. 【答案】C练习4.下列配方有错误的是（ ）()()()22222222.41025.68031797.2760.3420322416--=-=++=+=⎛⎫--=-=-+=+= ⎪⎝⎭化为化为化为化为A x x x B x x x C x x x D x x x【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()()()2222222222222222.410,4414,25.680,6989,317777797.2760,3,3,2244416.3420,91260,912464322A x x x x xB x x x x xC x x x x x x xD x x x x x x x --=∴-+=+∴-=++=++=-+∴+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=∴-+=+∴-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=∴-+=∴-+=-+∴-=- 【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2x m n -=的形式. 【答案】D【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，让学生用类比的方法解决问题. ●活动③ 综合应用例5. 若代数式2222208580x y y x ++-+=，则x y +的值是 . 【知识点】 二次项系数不为1的配方法 【解题过程】()()22222222208*********25020,502,53x y y x x y y x x y x y x y x y ++-+=++-+=-++=-=+===-+=-【思路点拨】将方程化成()()22x m y n a +++=的形式. 【答案】-3【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题. 练习5. 已知实数,x y 满足2224848x y xy y ++=-，求,x y 的值. 【知识点】 配方法解一元二次方程 【解题过程】()()()()222222222248482424244020222x y xy y x y xy yxxy y y y x y y x y y x y ++=-++=--++++=-++==⎧∴⎨=-⎩=-⎧∴⎨=-⎩【思路点拨】将方程化成()()220x m y n +++=的形式.【答案】22x y =-⎧⎨=-⎩【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.3. 课堂总结 知识梳理用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式；2.把常数项移到方程右边；3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；5.原方程变形为（x +m ）2=n 的形式；6.若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根.重难点归纳1.用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤:1）一化：化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；x 2+a b x +ac =0 2）二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；x 2+a b x =–ac3）三配：①配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x 2+ab x +(ab 2)2 =–ac+(ab 2)2的形式； ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ 4）四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数，否则原方程无解；x +a2b= 2a±②分别解这两个一元一次方程，求出两根；x =2.配方法的理论依据是完全平方公式：a 2+2ab +b 2=(a +b )23.配方法解方程的步骤可以灵活运用，有时可不必将二次项系数化为1，而是将方程配成（mx +n ）2=n 的形式，再直接开平方降次求解.4.一元二次方程的配方是两边同时除以a ，而二次三项式的配方是提取a ，要注意区别.（三）课后作业 基础型 自主突破1．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x +1）2=0C ．（2x +1）2+3=0D ．212x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【知识点】直接开方法判断有无实数解. 【解题过程】()()2222.10.210.21301..2A x B x C x D a a =-<+=+=-<⎛⎫-= ⎪⎝⎭无法判断正负【思路点拨】原方程变形为（x +m ）2=n 的形式；若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根. 【答案】B2．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3B、（x+2）2-4C、（x+2）2-5D、（x+2）2+4【知识点】配方法的应用【解题过程】解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5【思路点拨】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【答案】C3. 用配方法解一元二次方程﹣3x2+4x+1=0的第一步是把方程的两边同时除以．【知识点】解一元二次方程-配方法【解题过程】解：﹣3x2+4x+1=0，方程两边同时除以﹣3得：x2﹣43x﹣13=0，则此方程用配方法解时的第一步是把方程的两边同时除以﹣3．【思路点拨】配方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后在方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．【答案】-34. 用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=，k=．【知识点】解一元二次方程-配方法．【解题过程】解：原方程可以化为：2310 22x x++=，移项，得x2+32x=﹣12，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+32x+234⎛⎫⎪⎝⎭=﹣12+234⎛⎫⎪⎝⎭，配方，得231416 x⎛⎫+=⎪⎝⎭比较对应系数，有：34116hk⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【思路点拨】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【答案】故答案是：34、1165. 用配方法解一元二次方程4x2﹣1=12x 【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】解：4x2﹣1=12x，4x2﹣12x=1，x2﹣3x=，x2﹣3x+94=14+94，（x﹣32）2=52，x﹣32=±2，x1=33222++=x2=33222-=；【思路点拨】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【答案】x1，x2；6.用配方法解下列关于x的一元二次方程：9x2﹣12x=1．【知识点】解一元二次方程-配方法【解题过程】解：方程变形得：x2﹣43x=19，配方得：x 2﹣43x +4599=，即（x ﹣23）2=59， 开方得：x﹣233=±， 解得：x 1=23，x 2=23． 【思路点拨】方程变形后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解．【答案】x 1=23，x 2=23．能力型 师生共研7.用配方法解方程：2(21)(32)7x x x -=+-【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】()22222212(21)(32)74413276869131314,2x x x x x x x x x x x x x x x -=+--+=+--=--+=-=-=±==【思路点拨】先将方程化成一般形式，然后再用配方法解一元二次方程.【答案】124,2x x ==8.求2272x x -+ 的最小值 .【知识点】配方法 【解题过程】22222727222749492()2221616733332488x x x x x x x -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-+-⨯+⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭ 【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值. 【答案】338-探究型 多维突破9. 求代数式22811x x -+-的最大值.【知识点】配方法求最值【解题过程】解：原式=()()()()22222411244411223220,-3x x x x x x ---=--+--=-----≤∴Q 原式的最大值是【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值.【答案】3-10.用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0．【知识点】解一元二次方程-配方法.【解题过程】解：∵关于x 的方程ax 2+bx +c =0是一元二次方程，∴a ≠0．∴由原方程，得x 2+b a x =﹣c a， 等式的两边都加上22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得 x 2+b a x +22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=﹣c a +22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 配方，得（x +2b a）2=﹣2244ac b a -， 当b 2﹣4ac ＞0时，开方，得：x +2b a=±， 解得x 1x 2， 当b 2﹣4ac =0时，解得：x 1=x 2=﹣2b a；当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根．【思路点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px +q =0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx +c =0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q =0，然后配方.【答案】当b 2﹣4ac ＞0时，x 1x 2， 当b 2﹣4ac =0时，x 1=x 2=﹣2b a； 当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根．自助餐1.已知关于x 的方程2220x kx -+=的一个解为12x =，求方程的另一个解. 【知识点】方程的根、配方法解一元二次方程 【解题过程】把12x =代入一元二次方程中可求出5k =，原方程为 222212252051025252512161659416534412,2x x x x x x x x x x -+=-+=-+=-+⎛⎫-= ⎪⎝⎭-=±==【思路点拨】将方程的解代入原方程，求出待定系数。