浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三下第三次联考
数学试题卷
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集R,U =，集合4{Z |24},{R |0},1
x A x x B x x -=∈≤≤=∈>-则()U A C B =I [].1,4A B ．[2,4) .{2,3,4}C
D ．{2,3} 2．椭圆2
212
x y +=的焦点是 A ．(±1,0)
().0,1B ± C ．
,0)
(.0,D 3．若复数1(R,2z bi b i =
+∈为虚数单位)满足ln()z z z ⋅=，其中z 为z 的共复数，()ln z 表 小z 的虚部，则1z i
+的值为 A ．12
B ．
2C ． 1 D
4．设a ，b>0，若41a b +=则22log log a b +的
A ．最小值为2-
B ．最小值为4-
C ．最大值为2-
D ．最大值为4-
5.若实数x ，y 满足约束条件220,20,30,x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩
则233z x y =-+的最大值为
A ．-8
B ．-5
C ．-2
D ．15
- 6．函数f(x)=sin()cos()4411()()22
x x ππ++-的图像可能是
7．已知数列{a n }满足*1sin ,N n n a a n +=∈,则10a ≥“”是”任意n ∈N *，都有”1n n a a +≤”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．随机变量X 的分布列是
A ．()D X
B ．()()E X D X ≤
C ．()()E X
D X ≥
D ．()()
E X D X ≤
9．已知空间向量→OA ，→OB ，→OC 两两相互垂直，且|OA OB =u u u r u u u r =
||||,OC OP =u u u r u u u r 若OP OA yOB x OC =++±u u u r u u u r u u u r u u u r 则x+y+z 的取值范围是
A ．33⎡⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．[3,3]
D ．[]2,2- 10．已知函数()()()2223,122.2
x f x g x r r x r =-=-+--+ 命题①：对任意的0,2r >是函数()()y g f x x =-的零点;
命题②：对任意的0,2r >是函数()()y f x g x =-的极值点.
A ．命题①和②都成立
B ．命题①和②都不成立
C ．命题①成立，命题②不成立
D ．命题①不成立,命题②成立
第Ⅱ卷(非选择题共110分
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知O 为原点，|OP|=1，若M(13,44-)，则线段PM 长的最小值为 ▲ 12．在二项式62()x x
-的展开式中，系数为有理数的项的个数是 ▲ ;三项式系数．．．．．最大的项为 ▲ .
13．某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ▲ ，表面积为 ▲
14．如图，在平面凸四边形ABCD 中,24,AB AD CD BC P ====为对角线AC 的中点.若3.PQ PB =则PD = ▲ ,ABC ∠= ▲ .
15．由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位数中，相邻两个数字的差的绝对值不超过2的情况有 ▲ 种(用数字作答)
16．函数f(x)在区间A 上的最大值记为max ()x A f x ∈，最小值记为min ()x A
f x ∈.若函数()[][]
1,212,31,max min ()x b f x x bx f x ∈∈-=-=则 ▲ 17．斜线OA 与平面α成15°角，斜足为O ，A ‘为A 在α内的射影，B 为OA 的中点，是α
内过点O 的动直线.若上存在点P ，P 使1221=3AP B=0P ,PP
A B AB ︒∠∠则
则的最大值是 ▲ ，
此时二面角'12A PP A --平面角的正弦值是 ▲ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．(本小题满分14分)已知函数()2sin cos sin cos 2.33f x x x x ππ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期T 及f(
3π)的值； (Ⅱ)若方程33||0,3124f x x a ππ⎛⎫⎡⎤++=∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
在上有个解，求实数a 的取值范围. 19．(本小题满分15分)如图，在ABC ∆中,AB=3，AC=2BC=4，D 为AC 的中点,=2,AE EB u u u r u u u r →BP =34
→PC ．现将△ADE 沿DE 翻折至,A DE '∆得四棱锥.A BCDE '- (Ⅰ)证明：A D P E '
⊥；
(Ⅱ)若AA ‘23,=求直线A ‘P 与平面BCD 所成角的正切值．．．
20．(本小题满分15分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，111,
2,a 1,n n n a n a a n ++⎧⎪==⎨⎪⎩为奇数,为偶数. (Ⅰ)求23,a a 的值及数列{n a }的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数n ，使得n n
S a ∈Z .若存在，求所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由.
21．(本小题满分15分)如图，已知抛物线2
:4r y x =焦点为F ，过r 上一点000(,)(0)x y y >作
切线1l ，交x 轴于点T ，过点T 作直线2l 交r 于点()1122(,,.,)C x y y x B
(Ⅰ)证明：2120;y y y ⋅= (Ⅱ)设直线AB ，AC 的斜率为12,k k ，△ABC 的面积为S ，122,S k k AF
⋅=-若求的最小值.
22．(本小题满分15分)已知函数()()3253,().43R x
x
x e f x ae x a g x e x -∈==- (Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)对任意x>0均有()()2,f x g x 単求a 的取值范围.
注： 2.71828e =L 为自然对数的底数。