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2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练有答案

2018届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BD=AD,DG=DC,点E,F分别是BG,AC 的中点.(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.2. 如图,在▱ABCD中,DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△FCE;(2)若AB=2BC,∠F=36°.求∠B的度数.3. 如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.(1)求证:AG=CG;(2)求证:AG2=GE·GF.4. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA 交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.(1)求AD的长;(2)求四边形AEDF的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图,在菱形ABCD 中,点E ,O ,F 分别为AB ,AC ,AD 的中点,连接CE ,CF ,OE ,OF.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)当AB 与BC 满足什么关系时,四边形AEOF 是正方形?请说明理由.6. 如图,点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点,连接DE ,过顶点B 作BF⊥DE,垂足为F ,BF 分别交AC 于点H ,交CD 于点G. (1)求证:BG =DE ;(2)若点G 为CD 的中点,求HGGF的值.7. 如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连接AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.8. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.9. 如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.(1)求证:AG=CG;(2)求证:AG2=GE·GF.10. 如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA 至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB 交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF;(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.11. 在△ABC中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.(1)如图①,若AB=32,BC=5,求AC的长;(2)如图②,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:∠BDF=∠CEF.12. 如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.参考答案:1. 解:(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB =∠ADC=90°.在△BDG 和△ADC 中,⎩⎪⎨⎪⎧BD =AD ,∠BDG =∠ADC DG =DC ,,∴△BDG ≌△ADC. ∴BG =AC ,∠BGD =∠C.∵∠ADB=∠ADC=90°, E ,F 分别是BG ,AC 的中点,∴DE =12BG =EG ,DF =12AC =AF.∴DE=DF ,∠EDG =∠EGD,∠FDA =∠FAD.∴∠EDG+∠FDA=90°,∴DE ⊥DF.(2)∵AC=10,∴DE =DF =5,由勾股定理,得EF =DE 2+DF 2=5 2. 2. 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,AD =BC.∴∠D=∠ECF.在△ADE 和△FCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠D=∠ECF,DE =CE ,∠AED =∠FEC, ∴△ADE ≌△FCE(ASA).(2)∵△ADE≌△FCE,∴AD=FC.∵AD=BC ,AB =2BC ,∴AB=FB.∴∠BAF=∠F=36°.∴∠B=180°-2×36°=108°. 3. 证明:(1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,AD =CD ,∠ADB =∠CDB.又GD 为公共边,∴△ADG ≌△CDG(SAS),∴AG =CG. (2)∵△ADG≌△CDG,∴∠EAG =∠DCG.∵AB∥CD,∴∠DCG =∠F.∴∠EAG=∠F.∵∠AGE=∠AGE, ∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG =EGAG .∴AG 2=GE·GF.4. 解:(1)∵∠C=90°,∠B =30°,∴∠CAB =60°.∵AD 平分∠CAB ,∴∠CAD =12∠CAB=30°.在Rt △ACD 中,∵∠ACD =90°,∠CAD =30°,∴AD =2CD =6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ,DF ∥CA 交AB 于点F , ∴四边形AEDF 是平行四边形,∠EAD =∠ADF=∠DAF. ∴AF=DF.∴四边形AEDF 是菱形.∴AE=DE =DF =AF. 在Rt △CED 中,∵DE ∥AB ,∴∠CDE =∠B=30°. ∴DE =CDcos30°=2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴∠B =∠D,AB =BC =DC =AD.∵点E ,O ,F 分别为AB ,AC ,AD 的中点, ∴AE =BE =DF =AF ,OF =12DC ,OE =12BC ,OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中,⎩⎪⎨⎪⎧BE =DF ,∠B =∠D,BC =DC ,∴△BCE ≌△DCF(SAS). (2)当AB⊥BC 时,四边形AEOF 是正方形, 理由如下:由(1)得AE =OE =OF =AF , ∴四边形AEOF 是菱形.∵AB⊥BC,OE∥BC, ∴OE⊥AB.∴∠AEO=90°.∴四边形AEOF 是正方形.6. 解:(1)证明:∵BF⊥DE,∴∠GFD =90°.∵∠BCG =90°,∠BGC =∠DGF,∴∠CBG =∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG=∠CDE,BC =CD ,∠BCG =∠DCE,∴△BCG ≌△DCE(ASA),∴BG =DE.(2)设CG =x ,∵G 为CD 的中点,∴GD =CG =x , 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA),∴CG =CE =x.由勾股定理可知DE =BG =5x ,∵sin ∠CDE =CE DE =GFGD ,∴GF=55x.∵AB∥CG,∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG =BH GH =21.∴BH=253x ,GH =53x.∴HG GF =53.7. 解:(1)结论:AG 2=GE 2+GF 2.理由:连接CG.∵四边形ABCD 是正方形,∴点A ,C 关于对角线BD 对称.∵点G 在BD 上,∴GA=GC.∵GE⊥DC 于点E ,GF⊥BC 于点F ,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°.∴四边形EGFC 是矩形.∴CF=GE.在Rt △GFC 中,∵CG 2=GF 2+CF 2,∴AG 2=GF 2+GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ,在BN 上取一点M ,使得AM =BM.设AN =x.∵∠AGF=105°,∠FBG =∠FGB=∠ABG=45°,∴∠AGB =60°,∠GBN =30°,∠ABM =∠MAB=15°.∴∠AMN =30°.∴AM =BM =2x ,MN =3x.在Rt △ABN 中,∵AB 2=AN 2+BN 2,∴1=x 2+(2x +3x)2,解得x =6-24,∴BN =6+24.∴BG=BN cos30°=32+66. 8. 解:(1)∵AD⊥BC,BE ⊥AC ,∴∠BDF =∠ADC=∠BEC=90°,∴∠C +∠DBF =90°,∠C +∠DAC=90°,∴∠DBF =∠DAC,∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD =1,∠ADB =90°,∴AD BD =1,∵△ACD ∽△BFD ,∴AC BF =AD BD=1,∴BF =AC =39. 解:(1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,AD =CD ,∠ADB =∠CDB,可证△ADG≌△CDG(SAS),∴AG =CG(2)∵△ADG≌△CDG,∴∠EAG =∠DCG,∵AB ∥CD ,∴∠DCG =∠F,∴∠EAG=∠F,∵∠AGE =∠AGE,∴△AGE ∽△FGA ,∴AG FG =EG AG,∴AG 2=GE·GF10. 解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°,∵∠BCD=90°,∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°,∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,可证△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF(2)由(1)知AF=AD,△ABF≌△ACD,∴∠FAB=∠DAC,∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,∴∠EAF=∠BAD,可证△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF(3)四边形ABNE是正方形.理由如下:∵CD=CB,∠BCD=90°,∴∠CBD=45°,又∵∠ABC=45°,∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,由(2)知∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,∴∠AEF=∠ABD=90°,∴四边形ABNE是矩形,又∵AE=AB,∴四边形ABNE是正方形11. 解:(1)∵∠ABM=45°,AM⊥BM,∴AM=BM=ABcos45°=32×22=3.则CM=BC-BM=5-3=2,∴AC=AM2+CM2=22+32=13.(2)证明:延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.∵DM=MC,∠BMD=∠AMC,BM =AM,∴△BMD≌△AMC(SAS).∴AC=BD.又CE=AC,∴BD=CE.∵BF=FC,∠BFG =∠EFC,FG=FE,∴△BFG≌△CFE.∴BG=CE,∠G=∠E.∴BD=CE=BG,∴∠BDG =∠G=∠E.12. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC.∴∠AMB=∠EA F.又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°.∴∠B=∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠B=90°,AB =AD =12,BM =5,∴AM =122+52=13.∵F 是AM 的中点,∴AF =12AM =6.5.∵△ABM∽△EFA, ∴BM AF =AM AE ,即56.5=13AE.∴AE =16.9,∴DE =AE -AD =4.9.。

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