1.3 函数的基本性质
1.3.1
单调性与最大(小)值 ——函数的单调性
函数基本性质
新课导入
一、情景问题 如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动 气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时 气温相同为32C），观察这张气温变化图：
问：该图形是否为函数 图象？定义域是什么？ 问：如何用数学语言来 刻画温度随时间变化而 变化的趋势呢？
请你仿造函数最大值的定义，给出是函数y=f(x)
的最小值的定义.
函数基本性质
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； （2）存在x0 ∈I ，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).
函数基本性质
请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间
(-∞,0)上是减函数.
函数基本性质
新课
一、函数的单调性
1.增函数的定义
设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个 区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是增函数 （increasing function）.
函数最低点 (0,0)
函数基本性质
观察f(x)=-x2的图象
有一个最高点 (0,0)
y O
x
函数基本性质
观察函数f(x)=x的图象
发现，没有最低点，也没有最高点.
函数基本性质
新课
函数的最大（小）值 1．函数的最大（小）值的定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0 ∈I ，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value)。
生产效率
O
工人数
函数基本性质
3. 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一 单调区间上，函数是增函数还是减函数.
y 7 6 5 4 3 2 1 -1 O 1 2 3 4 5 x
函数基本性质
课堂小结
（1）增减函数的图象有什么特点？增函数的图象从 左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的.
（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在 给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的 大小.
课堂例题
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一 般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高
度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，
归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的 变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数 性质的反映.
函数基本性质
思考：
1．如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的 增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大， 相应的f(x)也随着增大”？
y
y f(x)
3
2
-2 1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 -1
5x
-2
函数基本性质
课堂练习
1.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻 明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升 高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能 的图象（示意图）.
函数基本性质
2. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生 产线上工人数量间的关系.
这一区间D叫做f(x)的单调区间.
说明：
(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；
(2)判断函数的单调性的方法： 比较法（要注意变形的程度）
(3)证明函数的单调性的步骤：
函数基本性质
课堂例题
例1.图1.34是定义在[区 5,5]上 间的函 y数 f(x), 根据图象说出调 函区 数,以 间 的及 单在每一单,调 它是增函数还?是减函数
（3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
函数基本性质
1.3.1
单调性与最大(小)值 —函数的最大(小)值
函数基本性质
上节课 1.图 例 1.34是定义在[区 5,5]间 上的函y数f(x),
函数基本性质
请同学们画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象，
并观察图象的变化特征，说说自己的看法.
函数基本性质
可观察到的图象特征：
（1）函数f(x)=x的图象由左至右是上升的； （2）函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在 y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(-∞,0]上， 随x着的增大，相应的f(x) 随着减小，在区间 (0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大.
函数基本性质
3．对定义要点分析 1） 函数是增函数还是减函数，是对定义域内 某个区间而言的; 2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要 任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或 减函数）.
函数基本性质
3．对定义要点分析
3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函 数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数，
根据图象说出函 调数 区,的 以 间单 及在每一单调
它是增函数还是 ? 减函y 数
y f(x)
3
2
-2 1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 -1
5x
-2
函数基本性质
y
y f(x)
3
2
-2 1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 -1
5x
-2
发现，函数图象在x=-2时，其函数值最小， 而在x=1时，其函数值最大.
请你仿照增函数的定义给出函数f(x)在区间D上是
减函数的定义.
函数基本性质
2.减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个 区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数 （decreasing function）.
2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2，函数值的大小
变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学 符号语言来描述这种关系呢？
函数基本性质
对于函数f(x)=x2 ，
在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1 x2时， 有f(x1) f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区
间(0,+∞)上是增函数.