第二章 一元函数微分学
三、极限的计算方法（二）
4．利用两个重要极限求极限 e x
x
x x
x x =+
∞
→=→)11(lim 21
sin 0
lim
1：个重要极限的标准形式第：个重要极限的标准形式第
注意：对于两个重要极限，不仅要记住他们的标准形式，更重要的是理解其本质特
征，明确其一般形式。

1
)
()
(sin lim
1sin lim
0)(010)()(1==→→→x x x
x
x x x x x x x ϕϕϕϕϕ 为：
个重要极限的一般形式则第，的某个变化过程中，若的函数，在为，设其自身之比的极限是正弦与
的特征是：无穷小量的是无穷小量，即此极限中，在
限的特征为：是无穷小量，因此该极时中，在x x e x x x 1
)11(lim ∞→=+∞→
为
个重要极限的一般形式，则第的某个变化过程中，若在。

的极限为大量互为倒数其中，无穷小量与无穷无穷小量）无穷大量20)()(1(→+x x e ϕ
e
x x x =+→)
(1
)())
(1(lim ϕϕϕ
)(sin sin lim
60均为常数，求极限例b a bx
ax
x →
两个函数乘积的极限
，于是可把上极限化为解：因
bx x
x ax
bx ax
sin sin sin sin ⋅=
求解。

又当x →0时，ax→0，bx→0，于是有
b
a b a bx
bx b ax ax a bx x
x
ax bx ax x x x x x =
⋅⋅⋅=⋅=⋅=→→→→→1111sin 1lim 1sin lim sin lim
sin lim sin sin lim
00000
t
x
t t sin lim 7∞→求极限例
x
x x t
x
t x
t x
t t t t
x
t x t t =⋅=⋅=∞→∞→→∞→1)sin
(
lim sin lim 0 是无穷小量，于是有
，即时，是变量，当解：在极限过程中，
2
20sin 1
1lim
8x x x -+→求极限例
分析：当x →0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦
函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以
)11(2
++x ，然后看是否可利用第1个重要极限。

21
211111
lim sin lim )11(sin 11lim sin 11lim 202202220220=
⋅=++⋅=++⋅-+=-+→→→→ 解：x x x x x x x x x x x x
)()1(lim 9为常数求极限例k n
k
n n +∞→
个重要极限求解。

，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，
无穷小是无穷小量，符合“，即时， 分析：当”）无穷大
21(0+→∞→n
k n k n k k k n
n n n e n
k
n k =+=+∞→∞→])1[(lim )1(lim 解：
)()1(lim 101
为常数求极限例k kx x
x -→
极限求解。

个重要”，即可利用第”的倒数“配成“”型，再把无穷小）“于
是无穷大量，即极限属是无穷小量，时， 分析：当无穷大
2111(1
0kx
kx x x
kx x --+-→
k
k
kx x x
x e kx kx ---
→→=-=-]
)
1[(lim )1(lim 1
1
解：
3
)5(
lim 11+∞
→+x x x
x 求极限例 5355331])5
1[(lim )51(lim )51(lim )5(lim e x
x x x x x
x x x x x x =⋅+=+⋅+=+∞→∞→∞→+∞→解：
n
n n n )1
3(lim 12-+∞→求极限例
4
44141)1
1(lim ])11[(lim )11(lim )13(
lim 141
1414
114
113
1e e t
t t n n t t t t t n n t n t n t
n n n n n n =⋅=+⋅+=+=-+∞→∞→+∞→∞
→∞→∞→+==--+
=-+-=-+ ，于是有：
时，，且当，即　故令因为
：解法
解法2：
4
131
3
3])11[(lim ])31[(lim )11(lim )31(lim )1131(lim )13(lim e e
e n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n ==-+=-+=-+=-+---∞→∞→∞→∞→∞→∞→
5．利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。

⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-+→x x x x 31)3(1lim 130求极限例 。

()形后再求极限。

式，一般采用先通分变”型未定
属“均趋于无穷大，此极限与时， 分析：当∞-∞+→x x x x 31
310 91
)3(31lim )3(3)3(3lim 31)3(1lim 000-=+-=++-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+→→→x x x x x x x x x x 解：
x
x x
x tan cos 1lim
140-→求极限例 分析：当 x →0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法则，
但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。

能否利用第1个重要极限呢这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。

x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x cos 1cos sin )cos 1(cos sin sin )
cos 1(tan cos 1)cos 1(tan )cos 1)(cos 1(tan cos 122+⋅
=+⋅=+⋅-=
+⋅+-=- 解：
21
211cos 1cos lim sin lim tan cos 1lim 000=⋅=+⋅=-→→→x x x x x x x x x x 所以，
6．利用无穷小量的性质求极限·极限计算小结
⑴ 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。

1
sin lim
152-∞→x x
x x 求极限例
解：因当x →∞时，sinx 的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到
111
lim
1lim
2
2=-=-∞
→∞→x
x x x
x x
是无穷小量，即
的性质，是有界变量，由无穷小
，即是无穷小量，而时， 即x x x
x x x x
x sin 1
2sin 1sin 12⋅-≤-∞→
1sin lim
2=-∞→x x
x x
极限计算小结：
以上介绍了极限计算中常用的6种基本初等方法，在实际运用中，要首先判定所求
极限属于哪一种类型，视具体情况灵活正确运用。

同时，也要注意各种方法的综合运用。

极限计算是本章的重点内容之一，要求大家加强练习，熟练掌握。