a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
max
a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
x1 (k ) max( x1 )
max(
vk( Ak1
v
0
)
1 max a1x1
a2
2 1
k x2
an
n 1
k
xn
max
a1x1
a2
(2.1)
现在讨论求1及x1的基本方法.
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v0 a1x1 a2x2 anxn , (设a1 0) v1 Av 0 a11x1 a2 2x2 annxn ,
vk
Av k1
k1 a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn .
当k很大时，vk 1k a1 x1 (vk 1 1vk , Avk 1vk )，
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量；
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(3) 存在正交矩阵P使得
1
P1AP
2
，
n
且i (i 1, 2, , n)为A的特征值,而P (u1,u2 ,
向量u j为对应于j的特征向量.
,un )的列
对称正定矩阵——特征值均大于零
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7.2 幂法及反幂法
(4) 设A非奇异，则 0且 1 为A1的特征值,即 A1x 1 x.
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定理2 若i (i 1, , n)是矩阵A的特征值, 则
n
n
(1) i aii tr(A),
i 1 i 1
(2) det(A) 1 n.
定理3 设A Rnn , 则
(AT ) (A).
定理4(对称矩阵的正交约化) 设A Rnn为对称矩阵,则
一、幂法 幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对应的特 征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
基本思想 设A (aij )nn Rnn有一个完全特征向量组, 其特征值
为1, 2, , n , 对应的特征向量为x1, x2, , xn.
已知A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
(k
1,2,
)
uk vk / k .
则
lim
k
uk
x1 , max(x1 )
lim
k
k
1.
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(2.9)
事 实 上 ，对于任给 非 零 向 量u 0
v
，
0
v1 Au 0 Av 0 ,
u1
v1 max( v1 )
Av 0 max( Av 0 )
,
v2
Au1
A2v0 , max( Av 0 )
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7.1 引言 物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij )nn , 则称
a 11 a12
a1n
设为A的特征值, 相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为A的对应于的特征向量.
2 1 0 例如 求A 1 3 1的特征值及其特征向量.
0 1 2
() 3 7 2 14 8 0
1 1, 2 2, 3 4
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(1I A) x1 0 (2I A) x2 0 (3I A) x3 0
2 1
k 1
x2
an
n 1
k 1
xn
1 (k )
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例8-1 用 幂法求
1 1 0.5
A
1
1 0.25
0.5 0.25 2
的按模最大特征值及其特征向量.
v0 u0 [1 1 1]T v1 Au0 [2.5 2.25 2.75]T
即 (vk1)i (vk )i
1
(或1
1 n
n
(vk1) j
j 1 (vk ) j
).
这种由已知非零向量v0及矩阵A的乘幂Ak构造向量序列
vk 以计算A的主特征值1及相应特征向量的方法称为幂法。
收敛速度由比值r 2 来确定，r越小收敛速度越快，但当 1
r 2 1时收敛可能就很慢。
1
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x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A Rnn的特征值, x是对应的非零特征
向量，则
(1) c是cA的特征值(常数c 0)；
(2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x；
(3) k是Ak的特征值,即 Akx kx；
() det(I A) a21 a 22
a2n
an1
an2
a nn
n (a11 a22 ann ) n1 (次级 n 2的项)
为A的特征多项式.
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A的特征方程
() det(I A) 0
(1.1)
的根称为A的特征值. (A)表示A的所有特征值的集合.
为了避免“溢出”，做改进. 记 max(v)为向量v的绝对
值最大的分量，规范化得 u v (v 0). 就有 max(v)
定理 设A Rnn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 (a1 0)，计算
u0 v0 ,
vk
k
Auk1, max(vk ),
k
u1 k
u2 k
u3 k
MU + KU 0 U u1 u2 u3 T
m
1
M
m
m
1
m
1
2 1 0 K k 1 2 1
0 1 2
设 k/m=1，求固有频率的特征方程
1
2 1 0
1
2
1
2
1 0
1 0 1 2
2 1 0 A 1 2 1
0 1 2
特征值与特征向量
,
u2
v2 max( v 2 )
A2v0 max( A 2 v0 )
,
vk
Ak v0 max( A k1
v
0
)
,
uk
vk max( v k )
Ak v0 max( A k v0 )
Ak v0
1k
a1x1
a
2
2 1
k x2
an
n 1
k
x
n
,
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uk
Ak v0 max( Ak v0 )
lim
k
vk
1k
a1 x1.
这说明序列 vk
1k
越来越接近A的对应于1的特征向量，
当k从分大时
vk 1k a1 x1 即vk是1的特征向量的近似向量.
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主特征值1的计算，用(vk )i 表示vk的第i个分量，
则
lim (vk1)i k (vk )i
1，
也就是说两相邻迭代分量的比值收敛到主特征值。