若以 Hd e
j
e
j n
在
k
2 k M
的 M 个点上的值之和代替上
式积分，则有
~ 1 hd n M
M 1
2 k j kn j2 M M Hd e e k 0
k j2 M H d k H d e
和N值
③ 计算以下积分，求出 h n 1 d 2 或
1 hd n 2



H d e j e j n d
H d e j e j n d

2
0
窗函数法的设计步骤
④ 将 hd n 与窗函数相乘得FIR数字滤波器的冲激响应
hn wn hd n
因此，数字理想低通滤波器的频率特性可表示为
j e ,பைடு நூலகம் j H e 0,
0.25
0.25
举例
例 4.7 解(续)：根据时延可确定窗函数的长度 N 21 数字理想低通滤波器的冲激响应为
1 hd n 2

0.25
0.25
~ 上式表明 hd n 实际上等效于
序列的 M 点IDFT。
窗函数法的缺点
根据频率采样的知识，我们知道如下关系
~ hd n
r
h n r M
d

~ 因此，当 M N 时，hd n 在窗口范围内能很好的逼
进 hd n 。
举例
例 4.7 设计一个低通FIR数字滤波器。已知模拟理想低通滤波器的幅
两个原因使它的应用受到限制。 很难准确控制滤波器的通带边缘 若 H d 不能用简单函数表示，则计算下面积分很困难
1 hd n 2



H d e j e j n d
窗函数法的缺点
第一个问题要通过多次设计来解决。比如，要求设计FIR 数字滤波器，在 0.25 处有 -3dB 的衰减，设计时先
度响应为
f 125Hz 1, H a j 0, 125Hz f 500Hz
取样频率
f s 1000 Hz ，数字滤波器冲激响应的时延 10
解：将模拟理想低通滤波器的截止频率 f c 125Hz 转换成数字频率
c T c 2 f c / f s 0.25
窗函数法的设计步骤
Lesson 19
复习提问

FIR滤波器的缺点是？
窗函数法的设计思想是？ 主瓣和旁瓣是指什么？它们对滤波器的影响分 别是什么？ 窗函数对主瓣和旁瓣的要求是什么？
窗函数法的设计步骤
① 给出希望设计的滤波器的频率响应函数 H d ② 根据允许的过渡带宽度及阻带衰减，初步选定窗函数
频率取样法设计FIR
复习提问

什么是频率取样？(p77)
频率取样后，信号产生什么变化？不失真的条 件是什么？ 如何恢复原频谱？

频率取样法设计FIR
FIR数字滤波器既可由冲激响应 hn 确定，也可由 hn 的离散傅立叶
变换 H k 确定，H k 可表示为
H k H z
e
j
e
j n
sin0.25 n 10 d ， 0 n 20 n 10
由此得到要求设计的FIR数字滤波器的冲激响应为
hn hd n wn
相应的系统函数为
sin0.25 n 10 wn ， 0 n 20 n 10
2 j k z e N
hn e
n 0
N 1
j
2 kn N
, k 0,1,2,, N 1
根据以前介绍的内插公式有
1 zN H z N

k 0
N 1
H k 1 e
j 2 k N
FIR滤波器的频率响应也可由 H k 表示
j sin N / 2 j H e H k e 2 k 0 N sin k / 2 N N 1
选择理想低通滤波器的 c 0.25 ，得到FIR数字滤波
器在 0.25 处衰减为 -6dB，不符合要求，然后改选
c 0.30 进行设计，直到符合要求。
窗函数法的缺点
第二个问题的解决办法是用求和来代替积分，因为
1 hd n 2

2
0
H d e j e j n d
20
H z hn z n
n 0
举例
实现上述设计的MATLAB程序如下：
fc=125; fs=1000; alpha=10; N=2*alpha+1; wc=2*pi*fc/fs; n=0:alpha-1; hdn=sin(wc*(n-10))./(n-10)/pi; hdn=[hdn wc/pi fliplr(hdn)] win1=[ones(N,1)]'; win2=[bartlett(N)]'; win3=[hann(N)]'; win4=[hamming(N)]'; hn1=hdn.*win1; hn2=hdn.*win2; hn3=hdn.*win3; hn4=hdn.*win4; figure,freqz(hn1);title('Rectangular Window');pause figure,freqz(hn2);title('Bartlett Window');pause figure,freqz(hn3);title('Hann Window');pause figure,freqz(hn4);title('Hamming Window');pause
⑤ 计算FIR数字滤波器的频率响应
H e
j
21 H d e j W e j 或
H e
j
hn e
n 0
N 1
j n
并验证是否达到所要求的指标
窗函数法的缺点
在实际设计中，有许多具体问题要处理。
尽管窗函数法由于有明显的优点而受到重视，但是，以下