贝叶斯统计习题
1. 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如
先验分布为 （1）U 0,1θ（）
（2）21-0<<1=0,θθπθ⎧⎨
⎩（），（）其它 求θ的后验分布。
解：
2． 设12,,
,n x x x 是来自均匀分布U 0,θ（）的一个样本，又设θ的先验分布为Pareto 分布，
其密度函数为 其中参数0>0,>0θα，证明：θ的后验分布仍为Pareto 分布。
解：样本联合分布为：
因此θ的后验分布的核为11/n αθ++，仍表现为Pareto 分布密度函数的核 即1111()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩
即得证。
3． 设12,,,n x x x 是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为-(|)=,>0x p x e x λλλ，
（1） 证明：伽玛分布(,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布。
（2） 若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数,αβ。
解：
4. 设一批产品的不合格品率为θ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X 为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X 服从几何分布，其分布列为 ()-1(=|)=1-,=1,2,x P X x x θθ
θ
假如θ只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值=3x ，求θ的最大后
验估计ˆMD
θ。
解：θ的先验分布为
在θ给定的条件下，X=3的条件概率为
联合概率为
X=3的无条件概率为
θ的后验分布为
5。
设x 是来自如下指数分布的一个观察值，
取柯西分布作为θ的先验分布，即
求θ的最大后验估计ˆMD
θ。
解 后验密度
6. 设12=(,,,)n x x x x 是来自均匀分布(0,)U θ的一个样本，又设θ服从Pareto 分布，密度函数为
求θ的后验均值和后验方差。
解：θ的先验分布为：1000/,()0,αααθθθθπθθθ+⎧>=⎨≤⎩
令{}101max ,,,n x x θθ= 可得后验分布为：1111
()/,()0,n n n x αααθθθθπθθθ+++⎧+>=⎨≤⎩ 则θ的后验期望估计为：1()()1
n E x n αθθα+=+-， 后验方差为：212()()(1)(2)
n Var x n n αθθαα+=+-+-. 7. 设x 服从伽玛分布1(,)22n Ga θ
，θ的分布为倒伽玛分布(,)IGa αβ， （1） 证明：在给定x 的条件下，θ的后验分布为倒伽玛分布(+,+)22
n x IGa αβ。
（2） 求θ的后验均值与后验方差。
解：由1~(,),~(,)22n x Ga IGa θαβθ
可以得出 （1）θ的后验分布为： 即为倒伽玛分布(,
)22
n
x IGa αβ++的核。
所以θ的后验分布为(,)22
n x IGa αβ++ （2）后验均值为22()2212
x x E x n n ββθαα++==+-+- 后验方差为2
2()2()(1)(2)22x Var x n n βθαα+=+-+- 8. 对正态分布(,1)N θ作观察，获得三个观察值：2，3，5，若θ的先验分布为(3,1)N ，求
θ的0.95可信区间。
9. 设某电子元件的失效时间X 服从指数分布，其密度函数为
若未知参数θ的先验分布为倒伽玛分布(1,0.01)IGa 。
计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度。
解：
10. 设12,,,n X X X 相互独立，且(),=1,,i i X P i n θ。
若12,,,n θθθ是来自伽玛分布(),Ga αβ的一个样本，找出对12=(,,
,)n X x x x 的联合边缘密度。
解： 11. 某厂准备一年后生产一种新产品，如今有三个方案供选择：改建本厂原有生产线（1a ）,从国外引进一条自动化生产线（2a ）；与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线（3a ）。
厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种：较高（1θ）；一般（2θ）；较低（3θ）。
假设其收益矩阵为（单位：万元），700980400=250-50090-200-800-30Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高，中，低，给出的主观概率分别为0.6,0.3，0.1。
求在悲观准则，乐观准则，和先验期望准则下的最优行动。
解：悲观准则下：首先行动1a ，2a ，3a 的最小收益分别为-200，-800，-30,。
然后选出其中
最大的收益为-30，从而最优行动为3a
乐观准则下：首先行动1a ，2a ，3a 的最大收益分别为700，980，400,。
然后选出其中
最大的收益为980，从而最优行动为2a 。
先验期望准则下：各行动的先验期望收益为
从而最优行动为1a 。
12. 某水果店准备购进一批苹果投放市场，市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间，已知其收益函数为0.8-0.38,5000.9(,)0.34,
0.92000a a Q a a a θθθθ≤≤⎧=⎨≤≤⎩，假设θ的先验分布为 []500,2000上的均匀分布，该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大？
解：先验期望收益为
当a=1343时，先验期望达到最大，故应购进1343公斤苹果。