考点33：立体几何中的综合问题
【考纲要求】
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】
立体几何综合问题是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体．【典型高考试题变式】
（一）构造函数在导数问题中的应用
例1.【2015广东卷（理）】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ） A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5
【变式1】【改编例题条件】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点M 是棱长为2的正方体
1111
ABCD A B C D −的棱AD 的中点，点P 在面
11
BCC B 所在的平面内，若平面
1D PM
分别与平面ABCD 和
平面
11
BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点
1
C 的最短距离是（ ）
A. 255
B. 2
2 C. 1 D. 63
【变式2】【改编例题条件和问法】【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如图，直三棱柱
111
ABC A B C −中，
12
AA =， 1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB
上
的一个动点.有下列判断： ① 直线AC 与直线1C E
是异面直线；②
1A E
一定不垂直
1
AC ；
③ 三棱锥1E AA O
−的体积为定值； ④
1
AE EC +的最小值为22.
其中正确的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 （二）立体几何中的体积问题
例2.【2014江西卷（理）】如图，四棱锥ABCD P −中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥
（2）若
,2
,
2,90===∠PC PB BPC
问AB 为何值时，四棱锥ABCD P −的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.
【变式1】【改编例题的条件】【2018届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由Rt SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段
SD 的中点， 21AD DC ==， 2AB =.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C −−的大小为
90°，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上.
（Ⅰ）证明： BD AF ⊥；
（Ⅱ）若三棱锥B AEC −的体积为四棱锥S ABCD −体积的2
5，求点E 到平面ABCD 的距离.
【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】如
图，多面体ABCDEF 中， //,AD BC AB AD ⊥, FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且
222AB AD AF BC DE =====.
（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证： //CM 平面ABF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.
【数学思想】 分类讨论思想
1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
2.分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理立体几何问题注意点】
用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 【典例试题演练】
1．【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥S ABC −中，若三条侧棱两两垂直，且3SA =，则正三棱锥S ABC −的高为（ ） A.
2 B. 2 C.
3 D. 3
2．【2017年浙江省源清中学9月高三上学期第一次月考】如图，矩形ADFE ，矩形CDFG ，正方形ABCD 两两垂直，且2AB =，若线段DE 上存在点P 使得GP BP ⊥，则边CG 长度的最小值为（ ）
A. 4
B. 43
C.
D. 23
3．【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】在棱长为2的正方体1111
ABCD A B C D −中任取
一点M ，则满足90AMB ∠>︒的概率为（ ）
A. 24π
B. 12π
C. 8π
D. 6π
4．【2017届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟】如图，动点P 在正方体1111
ABCD A B C D −的对角线
1
BD 上.
过点P 作垂直于平面
11BB D D
的直线，与正方体表面相交于,M N .设,BP x MN y ==，则函数
()y f x =的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5．【2017届浙江省杭州市高三4月教学质量检测】在等腰直角ABC ∆中， AB AC ⊥， 2BC =， M 为
BC 中点， N 为AC 中点， D 为BC 边上一个动点， ABD ∆沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在面BCD
上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（ ）
A. 线段NO 为定长
B. )
1,2CO ⎡∈⎣
C. 180AMO ADB ∠+∠>︒
D. 点O 的轨迹是圆弧 6．【2017届河北省唐山市高三年级第二次模拟】正方体1111
ABCD A B C D −棱长为6， O 点在棱BC 上，
且2BO OC =，过O 点的直线l 与直线
1
AA ，
11
C D 分别交于M ， N 两点，则MN =（ ）
A. 313
B. 95
C. 14
D. 21
7．【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在Rt ABC ∆中， AC BC ⊥， 3BC =， 5AB =，点D E 、分别在AC AB 、边上，且//DE BC ，沿着DE 将ADE ∆折起至'A DE ∆的位置，使得平面
'A DE ∆⊥平面BCDE ，其中点'A 为点A 翻折后对应的点，则当四棱锥'A BCDE −的体积取得最大值时， AD 的长为__________.
8．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】如图，一张4A 纸的长、宽分别为22,2a a ． ,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得
1234
,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面
体．关于该多面体的下列命题，正确的是__________．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ； ③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为2
5a π
9．【2017届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第九次模拟】如图，在正方体1111
ABCD A B C D −中，棱长为1 ，
点P 为线段1A C
上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的______． ①当1
13AC A P =时， 1//D P 平面1
BDC ；
②当1
13AC A P =时，
1
AC ⊥平面
1D AP
；
③
1
APD ∠的最大值为90；
④1AP PD +
的最小值为263.
10．【2017届昭通市高三复习备考统一检测】在棱长为1的正方体
1111
ABCD A B C D −中， BD AC O ⋂=,
M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 的距离最小
值是___________．
11．【2017届江西师范大学附属中学高三3月月考】如右图所示，在棱长为2的正方体
1111
ABCD A B C D −中，
E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．
12．【2018届江西省临川第二中学高三上学期第四次月考】如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点时，，求点到平面的距离.
13．【2018届重庆市巴蜀中学高三9月高考适应月考】如图，梯形中，，矩形所在的平面与平面垂直，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为线段上一点，直线与平面所成的角为，求的最大值.。