2019-2020学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3，5，7}，B ={x|x 2−7x +10≤0}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 已知i 为虚数单位，复数11−i 的虚部是( ) A. 12 B. −12 C. 12i D. −12i3. 已知命题p ：∀x ∈R ，−x 2+1≤l ，则￢p 为( )A. ∃x ∈R ，−x 2+1≥1B. ∀x ∈R ，−x 2+1≥lC. ∃x ∈R ，−x 2+1>lD. ∀x ∈R ，−x 2+1>14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2则(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =( )A. 5B. −5C. 6D. −65. 抛物线的标准方程是y 2=−12x ，则其焦点坐标是( )A. (3,0)B. (−3,0)C. (0,3)D. (0,−3)6. 如图所示的程序框图，输出的结果是S =2017，则输入A 的值为( )A. 2018B. 2016C. 1009D. 10087. 若x ，y 满足约束条件{y ≥0x +y ≤1x −2y ≥0，则3x +y 的最大值为( )A. 04B. 3C. 73 D. 28. 设双曲线y 2m −x 22=1的一个焦点为(0,−2)，则双曲线的离心率为( )A. √2B. 2C. √6D. 2√29. 已知π2<β<α<34π,cos(α−β)=1213,sin(α+β)=−35，则sin2α=( )A. 5665B. −5665 C. 6556 D. −655610. 在△ABC 中，“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 11. 已知12+22=2×3×56，12+22+32=3×4×76，12+22+33+42=4×5×96，…，若12+22+32+42+⋯+n 2=385(n ∈N ∗)，则n 的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1112. 若函数f(x)=e x −e −x +sin2x ，则满足f(2x 2−1)+f(x)>0的x 的取值范围为( ) A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数则f(f(2))=___________． 14. 在△ABC 中，已知a =3√2，cosC =13，S △ABC =4√3，则b =______．15. 数列{a n }中，a 1=−43，a n+2=1an +1，则a 7= ______ ． 16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点为F 1，F 2.过点F 的直线1与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，△BF 1F 2的面积是△AF 1F 2面积的三倍，∠F 1AF 2=90°，则双曲线C 的离心率为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，ab =60√3，sinB =sinC ，面积为15√3，求b ．18. 已知等差数列{a n }的首项a 1=3，公差d =2，{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1=23，公比q =23．(1)求数列{a n ⋅b n }的最大项；(2)求证：1S 1+1S 2+⋯+1S n <32．19. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过A(−1,32)、B(√3,−√32)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点(1)求椭圆E 的标准方程；(2)当CP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线l 的方程．20. 已知函数f(x)=lnx −a(x−1x+1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)=lnx −a (x−1x+1)有三个零点，求实数a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=(x +2)e x ．(1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求f(x)的极小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 设f(x)=|x −1|+|x +1|．(1)求f(x)≤x +2的解集；(2)若不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|，对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查复数的基本概念和复数除法运算，属于基础题．两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简可得复数等于12+12i，由此求得复数z的虚部．【解答】解：∵11−i=1+i(1−i)(1+i)=1+i2=12+12i故复数11−i 的虚部是12，故选A..．3.答案：C解析：解：命题p：∀x∈R，−x2+1≤l为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，−x2+1>l，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.答案：B解析：【分析】本题考查向量数量积的运算，属基础题．根据向量数量积的运算法则化简即可．【解答】解：因为a⃗⋅b⃗ =1，|b⃗ |=2，所以(3a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =3a⃗·b⃗ −2b⃗ 2=3−8=−5．故选B．5.答案：B解析：解：抛物线的标准方程是y2=−12x，可知焦点坐标在x轴上，P=6，焦点坐标(−3,0)．故选：B．利用抛物线的标准方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：画出x，y满足约束条件{y≥0x+y≤1x−2y≥0表示的平面区域：将目标函数变形为y=−3x+z，作出目标函数对应的直线，当直线过(1,0)时，直线的纵截距最小，z最大最大值为3+0=3，故选：B．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过(2,2)时，z最大．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．8.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的离心率，属于基础题．利用双曲线的性质，即可求出离心率．【解答】解：双曲线y 2m −x 22=1的一个焦点为(0,−2)，∴c =2，∴m +2=22，解得m =2．所以双曲线的离心率为e =c a =√2=√2．故选A ． 9.答案：B解析：【分析】本题考查同角三角函数关系式与两角和差公式的灵活运用，属于中档题．【解答】 解：∵π2<β<α<34π， ∴0<α−β<π4,π<α+β<32π，∵cos(α−β)=1213,sin(α+β)=−35，∴sin(α−β)=513,cos(α+β)=−45，∴sin2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=−5665． 故选B ． 10.答案：B解析：【分析】本题考查了向量的夹角与三角形的形状之间的关系，考查了推理能力，属于基础题．由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0只能得到角A 是锐角，无法得到△ABC 为锐角三角形；但△ABC 为锐角三角形时，角A 一定是锐角，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即可判断出． 【解答】解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0只能得到角A 是锐角，无法得到△ABC 为锐角三角形； 但△ABC 为锐角三角形时，角A 一定是锐角，故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0．∴“AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件． 故选：B ．11.答案：C解析：【分析】利用已知条件判断12+22+32+42+⋯+n 2的形式，然后通过和值转化求解即可．本题考查数列求和归纳推理的应用，特殊数列12，22，32，42，…，n 2求和的方法．【解答】解：12+22=2×3×56=2×(2+1)(2×2+1)6， 12+22+32=3×4×76=3×(3+1)(2×3+1)6，12+22+33+42=4×5×96=4×(4+1)(2×4+1)6，…，可知12+22+32+42+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6， 若12+22+32+42+⋯+n 2=385(n ∈N ∗)，可得：n(n+1)(2n+1)6=385．n(n +1)(2n +1)=10×11×21解得n =10．故选C ．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．先分析这个函数的单调性和奇偶性，然后解不等式即可．【解答】解：函数，定义域为R ， 且满足，∴f(x)为R 上的奇函数；又f′(x)=e x +e −x +2cos2x ≥2+2xcos2x ≥0恒成立，∴f(x)为R 上的单调增函数；又f(2x 2−1)+f(x)>0，得f(2x 2−1)>−f(x)=f(−x)，∴2x 2−1>−x ，即2x 2+x −1>0，解得x <−1或x >12，所以x 的取值范围是(−∞,−1)∪(12,+∞)．故选B ． 13.答案：2解析：【分析】本题考查分段函数求值，属于基础题．根据已知分段函数求解即可．【解答】解：由已知可得f(2)=log 3(22−1)=1，所以f(f(2))=f(1)=2e 0=2，故答案为2．14.答案：2√3解析：【分析】此题考查了三角形面积公式，以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．由cos C 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin C 的值，利用三角形面积公式列出关系式，把a ，sin C 以及已知面积代入求出b 的值即可．【解答】解：∵△ABC 中，cosC =13，∴sinC =√1−cos 2C =2√23， ∵a =3√2，S △ABC =4√3，∴12absinC =4√3，即12×3√2b ×2√23=4√3，解得：b =2√3，故答案为：2√3．15.答案：2解析：解：∵a 1=−43，a n+2=1an +1， ∴a 3=1−43+1=−3，a 5=1−3+1=−12．则a 7=1−12+1=2． 故答案为：2． 利用递推公式即可得出． 本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.答案：√102解析：解：设|AF 1|=m ，|BF 1|=n ，由双曲线的定义可得|AF 2|=2a +m ，|BF 2|=2a +n ，由△BF 1F 2的面积是△AF 1F 2面积的三倍，可得12(2a +m)(m +n)−12m(2a +m)=3⋅12(2a +m)m ，化简可得n =3m ，由直角三角形ABF 1可得(m +n)2+(2a +m)2=(2a +n)2，代入n =3m ，化简可得m =a ，在直角三角形AF 1F 2中，可得m 2+(2a +m)2=4c 2，即为a 2+9a 2=4c 2，即c =√102a ， 则e =ca =√102， 故答案为：√102．设|AF 1|=m ，|BF 1|=n ，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理和面积公式，化简可得n =3m ，m =a ，再由勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.答案：解：由S =12absinC =15√3，∴sinC =√312×60√3=12． 又∵sinB =sinC =12，B ，C 为三角形的内角，∴B =C =30°．∴A =120°．由正弦定理得a sinA =bsinB ，即a =√3b ，代入ab =√3b 2=60√3，得b =2√15．解析：本题考查正弦定理和面积公式的应用，属于基础题．根据三角形的面积公式S =12absinC =15√3可求出C ，从而求出A ，B ，由正弦定理可得a =√3b 代入ab =60√3即可求解．18.答案：解：(1)等差数列{a n }的首项a 1=3，公差d =2，则：a n =3+2(n −1)=2n +1． 等比数列{b n }的首项b 1=23，公比q =23． 则：b n =23⋅(23)n−1=(23)n ， 设数列{a n b n }的第n 项最大， 则：{a n b n≥a n+1b n+1a nb n ≥a n−1b n−1，解不等式得：32≤n ≤52， 故：n =2．所以第二项最大a 2b 2=209．证明：(2)由于等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 所以：S n =n(n +2)，所以：1S n=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，则：1S 1+1S 2+⋯+1S n=12(1−13+12−14+⋯+1n+1+1n −1n+2)，=12(1+12−1n+1−1n+2)， <34<32，故：1S 1+1S 2+⋯+1S n<32成立．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出最大项． (2)利用(1)的结论，利用裂项相消法求出数列的和，最后求出结果．19.答案：解：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，得{1a 2+94b 2=13a 2+34b2=1⇒{a 2=4b 2=3 故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1…………………………………………(5分)(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1+2x 2=0…………① 若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1则由{x 24+y 23=1y =kx +1得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0， ∴{x 1+x 2=−8k4k 2+3x 1x 2=−84k 2+3与①联立解得k =±12若直线l 的斜率不存在，则l ：x =0，∴|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+1,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3−1， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠2PD ⃗⃗⃗⃗⃗综上可知，直线l 的方程为y =±12x +1，即x −2y +2=0或x +2y −2=0……………………………………………………(12分)解析：(1)将点A(−1,32)、B(√3,−√32)代入椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)，列出方程，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，通过CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，推出x 1+2x 2=0，若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．20.答案：解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x −2a(x+1)2=x 2+(2−2a)x+1x(x+1)2，令g(x)=x 2+(2−2a)x +1，当a ≤1时，∵x ∈(0,+∞)，g(0)=1>0，对称轴x 0=a −1≤0，∴g(x)>0， 即f′(x)>0，∴f(x)单调递增，当1<a ≤2时，∵对称轴x 0=a −1>0，Δ=4a 2−8a ≤0，∴g(x)≥0， 即f′(x)≥0，∴f(x)单调递增，当a >2时，Δ=4a 2−8a >0，g(x)=0在(0,+∞)内有两不等实根， x =(2a−2)±√4a 2−8a2=a −1±√a 2−2a ，设x 1=a −1−√a 2−2a ，x 2=a −1+√a 2−2a ． 当x ∈(0,x 1)时，g(x)>0，即f′(x)>0，∴f(x)单调递增， 当x ∈(x 1,x 2)时，g(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)单调递减，当x ∈(x 2,+∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，∴f(x)单调递增． 综上，当a ≤2时，f(x)单调递增区间为(0,+∞)；当a >2时， f(x)单调递增区间为(0,a −1−√a 2−2a)和(a −1+√a 2−2a,+∞)， f(x)单调递减区间为 (a −1−√a 2−2a,a −1+√a 2−2a)． (2)由(1)得，当a ≤2时，f(x)在(0,+∞)单调递增， ∴f(x)至多有一个零点；当a >2时，∵x 1<x 2，x 1x 2=1，∴0<x 1<1<x 2，容易观察1是f(x)的一个零点， 由 f(x) 的单调性知f(x 1)>0，f(x2)<0，令x 0=e −a ∈(0,1)，则f(x 0)=lne −a −(e −a −1e −a +1)=−a −a(e −a −1e −a +1)=−2ae −a e −a +1<0∴当x ∈(0,1)时存在x 0使得f(x 0)<0，又f(x 1)>0且f(x)在(0,x 1)上递增， ∴f(x)在(x 0,x 1)内必有一个零点， 令x 0′=e a ∈(1,+∞)，则f(e a )=a −a(e a −1e +1)=2a e +1>0，∴当x ∈(1,+∞)时，存在x 0′使得f(x 0′)>0，又f(x 2)<0且f(x)在(x 2,+∞)上递增，∴f(x)在(x 2,x 0′)内必有一个零点， ∴所求实数a 的取值范围是(2,+∞)．解析：、本题考查利用导数研究函数的单调性及由函数的零点个数求参数的范围，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，问题转化为方程ln x −a(x−1x+1)=0有3个不同的实数根，讨论参数a 的范围，根据函数的单调性进行分析即可．21.答案：解：(1)函数f(x)=e x (x +2)，则f′(x)=e x (x +3)=e x (x +3)， 故f′(0)=3， 又f(0)=2，故曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为：y −2=3x ，即3x −y +2=0； (2)由(1)知f′(x)=0可得：x =−3，令f′(x)>0，解得：x >−3；此时函数f(x)在区间(−3,+∞)上单调递增； 令f′(x)<0，解得：x <−3；此时函数f(x)在区间(−∞,−3)上单调递减； 当x =−3取极小值为f(−3)=−1e 3．解析：本题考查利用导数法求曲线的切线方程及利用函数的单调性求极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．(1)求导，f′(0)=3，直线斜率为3，且过点(0,2)，利用点斜式方程，求得切线方程； (2)先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|． 所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：(1)由f(x)≤x +2可得{x +2≥0x ≤−11−x −x −1≤x +2，此时x 无解； 或{x +2≥0−1<x <11−x +x +1≤x +2，解得0⩽x <1; 或{x +2≥0x ≥1x −1+x +1≤x +2，解得1≤x ≤2; ∴综上，所求解集为[0,2]．(2)|a +1|−|2a −1||a|=|1+1a |−|2−1a|≤|1+1a+2−1a|=3，当且仅当1a ≥2时取等号， 由不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|对任意实数a ≠0恒成立，可得|x −1|+|x +1|≥3，所以{x ≤−11−x −x −1≥3，解得x ⩽−32;或{−1<x <11−x +x +1≥3，此时x 无解； 或{x ≥1x −1+x +1≥3，解得x ≥32； 综上可知，实数x 的取值范围是(−∞,−32]∪[32,+∞)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题． (1)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； (2)求出|a+1|−|2a−1||a|的最大值，问题转化为|x −1|+|x +1|≥3，解出即可．。