第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。

（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。

4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。

8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x)其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。

（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。

证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。

（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

10、（上海交大2005—15分）假设()f x = 232331112221213141xx x x x x ------（1）证明：存在实数c(0<c<1)，使得()f c '=0这里()f x '为()f x 的导函数； （2）在()Q x 中将()f x 分解为不可约因式之积。

11、（大连理工2005—10分）设f(x) ，g(x)是数域P 上的多项式，证明：在数域P 中，若f 3(x)∣g 3(x),则f(x)∣g(x)。

12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x 2+1除余x+1，被x 3+x 2+1除余x 2-1。

13、（北航2003—10分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F 上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，而h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。

14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)：（1）x -3整除f(x)；（2）x+3除f(x)的余数是4；（3）x+2除f(x)的余数等于x -2除f(x)的余数。

15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x -1)2整除，而f(x)-1能被(x+1)2整除.16、（南航2003—20分）设A ∈C n×n, f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A 的最小多项式。

证明：(1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。

17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。

（1）设a≠b，用（x -a ），（x -b ）除f(x)的余数分别为r 1和r 2 ，求用（x -a ）（x -b ）除f(x)的余式。

(10分)(2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。

(10分))（3）设f(x)= f 1(x) f 2(x)，次（f 1(x)）>0，次（f 2(x)）>0，且(f 1(x) f 2(x))=1。

证明：若次（g(x)）<次(f(x))，且f 2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得u(x) f 1(x)+v(x) f 2(x)= g(x)成立，且满足次(u(x))<次(f 2(x))，次(v(x))<次(f 1(x))。

(15分) 18、（北京科大2005—10分）求出所有的多项式f(x)，使得（x -1)f(x+1) -（x+2)f(x)≡0。

19、（北交大2002—12分）多项式f(x)=x 5+3x 4+x 3+x 2+3x+1 g(x)=x 4+2x 3+x+2求(f(x)，g(x))和u(x)，v(x)，使u(x) f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))20、（南航2002—20分）设f(x)=x 4-4x 3+5x 2-2x -2 ，g(x)=x 3-x 2+2x -2 (1)已知1- i 是f(x)的根，求f(x)的其余三个根 .(6分)（2）求u(x)，v(x)使u(x) f(x)+v(x)g(x) =(f(x)，g(x)) 。

(14分)21、（上海交大2002—12分）设f 1(x)=a f(x)+b g(x)，g 1(x)=c f(x)+d g(x)且a b c d≠0。

证明(f(x)，g(x))= (f 1(x)，g 1(x))。

22、（北理工2003—15分）设多项式h(x) ，f(x) ，g(x)有f(x 5) +xg(x 5)+x 2h(x 5)=(x 4+x 3 x 2+x+1)k(x)证明：x -1是h(x) ，f(x) ，g(x)的一个公因式。

23、（重大2004—10分）证明：如果d(x)︱f(x)，d(x)︱g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与gx)的一个最大公因式。

24、（北邮2004—18分）设多项式f(x) ≠0，h(x)为任意多项式，证明：若(f(x)，g(x))=1，则(f(x)，g(x) h(x))= (f(x)，h(x))，问反之是否成立？ 25、（北理工2004—15分）给定不全为零的多项式f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)，证明：存在六个多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，h 1(x)，h 2(x)，h 3(x)使123123123f (x)f (x)f (x)g (x)g (x)g (x)h (x)h (x)h (x)=（f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)） 这里（f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)）表示f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)表示的首项系数为1的最大公因式。

26、（北邮2005—18分）试问k 为何值时，整系数多项式f(x)=x 2+(k+6)x+4k+2和g(x)=x 2+(k+2)x+2k 的最大公因式是一次的？并求出这时的最大公因式(f(x)，g(x))。

27、（北航2002—10分）证明当且仅当(f(x)，g(x))=1，(f(x)，h(x))=1时有(f(x)，g(x) h(x))=1。

28、（西安交大2004—12分）证明：数域P 上的一元多项式f(x)与g(x)互质（即互素）的充要条件是存在P 上的多项式u(x) ，v(x)，使得：u(x) f(x)+v(x)g(x)=1。

29、（北京化工大2002—20分）设A 是n 级矩阵，()A m x 是A 的最小多项式，()f x 是多项式且其次数∂(()f x )≥1。

证明：（1）若()f x ︱()A m x ，则()f A 是退化矩阵，即︱()f A ︱=0；（2）若()d x =（()f x ，()A m x ），即两多项式的首项系数为1的最大公因式，则它们的秩相等：(()r f A = (())r d A ；（3）f(A)是非退化矩阵的充要条件是（()f x ，()A m x ）=1。

30、（北大2002—12分）对于任意非负整数n ，令221()(1)n n n f x x x ++=-+，证明2(1,())1n x x f x ++=31、（北理工2005—15分）设A 为数域F 上的n 阶矩阵，f(x)，g(x)∈F[x]，证明：如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么齐次线性方程组d(A)X =0的解空间等于f(A)X =0的解空间与g(A)X =0的解空间的交集。

32、（北交大2005—15分）设A 为n 阶方阵，g(x)是A 的最小多项式，f(x)是次数大于零的任一多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。

33、（东南2005—10分）设F 一数域，多项式f(x)，g(x) ∈F[x]具有性质：当h(x)∈F[x]且f(x)︱h(x)，g(x)︱h(x)时，必有f(x)g(x)︱h(x) 。

证明：（f(x)，g(x)）=1 34、（重大2005—10分）设A 为方阵，g(λ)证明：f(A)可逆⇔(f(λ)，g(λ))=1 35、（南开2000—15分）设f(x)是数域P 上的多项式，这里n≥1；且设f(x)的一阶微商可以整除f(x)。

证明f(x)=a(x -b)n，a,b ∈P ，a ≠0。

36、（南开2001—10分）设()f x 是复数域上首项系数为1的n 阶多项式，如()((),())f x f x f x '=(x -b 1) (x -b 2)，b 1≠b 2且x -b 1是()f x '的k 重因式（这里()f x '是()f x 的一阶微商），问()f x =？为什么？37、（清华1998—16分）试求多项式f =x 3+px+q 的判别式D(f )(即用f 的系数表出D(f )。