2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2016．11 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，则∁U A ＝__________．2. 已知复数z 满足z(1－i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为__________．(第4题)3. 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的最小正周期为__________．4. 右图是一个算法的流程图，则输出x 的值为__________．5. 某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取__________人．6. 若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为__________．7. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为__________．8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＝3，S 4＝16，则S 9的值为________．9. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是__________．(第10题)10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是__________．11. 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin (α－β)的值为__________．12. 已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．13. 已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB→的取值范围是__________．14. 已知函数f(x)＝|x2－4|＋a|x－2|，x∈[－3，3]．若f(x)的最大值是0，则实数a的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB＝2，tanC＝3.(1) 求角A的大小；(2) 若c＝3，求b的长．16.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：(1) 直线A1E∥平面ADC1；(2) 直线EF⊥平面ADC1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN＝AB，求直线l的方程；(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝2 km，BC ＝1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．(1) 如图1，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；(2) 如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *.设S n 为{a n }的前n 项和．(1) 求证：数列{3n a n }是等差数列； (2) 求S n ；(3) 是否存在正整数p ，q ，r(p ＜q ＜r)，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．设函数f(x)＝lnx －ax 2＋ax ，a 为正实数．(1) 当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 求证：f ⎝⎛⎭⎫1a ≤0；(3) 若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值.2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB 2＝BE·BD －AE·AC.B. (选修42：矩阵与变换) 求椭圆C ：x 29＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1300 12对应的变换作用下所得的曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设c＞0，|x－1|＜c3，|y－1|＜c3，求证：|2x＋y－3|＜c.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP ＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．(1) 求异面直线AP，BM所成角的余弦值；(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．23.设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求证：对任意正整数n，f(n)是8的倍数．2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. 13. 4π4. 235. 86. 357. 38. 819. 16π3 10. 5－12 11. －1312. 36 13. [－9，0] 14. (－∞，－5]15. 解：(1) 因为tanB ＝2，tanC ＝3，A ＋B ＋C ＝π， 所以tanA ＝tan [π－(B ＋C)]＝－tan(B ＋C)(2分)＝－tanB ＋tanC 1－tanBtanC ＝－2＋31－2×3＝1.(4分)又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(6分)(2) 因为tanB ＝sinB cosB ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sinB ＝255.(8分)同理可得，sinC ＝31010.(10分)由正弦定理，得b ＝csinBsinC ＝3×25531010＝2 2.(14分)16. 证明：(1) 连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以B 1E ∥BD 且B 1E ＝BD ，所以四边形B 1BDE 是平行四边形，(2分) 所以BB 1∥DE 且BB 1＝DE. 又BB 1∥AA 1且BB 1＝AA 1， 所以AA 1∥DE 且AA 1＝DE ，所以四边形AA 1ED 是平行四边形，(4分) 所以A 1E ∥AD.因为A 1E 平面ADC 1，AD 平面ADC 1， 所以直线A 1E ∥平面ADC 1.(7分)(2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ， 又AD 平面ABC ，所以AD ⊥BB 1.又△ABC 是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.(9分) 又BB 1，BC平面B 1BCC 1，BB 1∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1.又EF 平面B 1BCC 1，所以AD ⊥EF.(11分)又EF ⊥C 1D ，C 1D ，AD 平面ADC 1，C 1D ∩AD ＝D ， 所以直线EF ⊥平面ADC 1.(14分)17. 解：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，(2分)则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.(4分)因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2，(6分)解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(8分)(2) 假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12， 即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.(10分)因为|2－2|＜（2－0）2＋（0－1）2＜2＋2，(12分) 所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.(14分)18. 解：(1) 因为AD ＝DC ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，所以AB ＝ 3.(2分)图1取AB 中点G ，则四边形BCEF 的面积为12S 梯形ABCD ＝S 梯形BCEG ＋S △EFG ，即12×12×3(1＋2)＝12×32⎝⎛⎭⎫1＋32＋12GF ×32， 解得GF ＝36，(6分)所以EF ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫362＝213(km)．故灌溉水管EF 的长度为213km.(8分)图2(2) 设DE ＝a ，DF ＝b ，在△ABC 中，CA ＝12＋（3）2＝2， 所以在△ADC 中，AD ＝DC ＝CA ＝2，所以∠ADC ＝60°，所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12absin60°＝34ab.又S 梯形ABCD ＝332，所以34ab ＝334，即ab ＝3.(12分)在△ADC 中，由余弦定理，得EF ＝a 2＋b 2－ab ≥ab ＝3，当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．故灌溉水管EF 的最短长度为 3 km.(16分)19. (1) 证明：因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2.(2分)因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列．(4分)(2) 解：由(1)知，3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n)⎝⎛⎭⎫13n ，(6分)所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ，所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 两式相减得，23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝2n·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以S n ＝n 3n .(10分) (3) 解：假设存在正整数p ，q ，r(p ＜q ＜r)，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q 3q ＝p 3p ＋r 3r . 由于当n ≥2时，a n ＝(3－2n)⎝⎛⎭⎫13n ＜0，所以数列{S n }单调递减．又p ＜q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以p 3p ≥q －13q －1，(12分) q －13q －1－2q 3q ＝q －33q . ① 当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r ＞0，所以p 3p ＋r 3r ＞2q 3q ，等式不成立．(14分) ② 当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解唯一确定)． 综上可知，p ，q ，r 的值分别为1，2，3.(16分)20. (1) 解：当a ＝2时，f(x)＝lnx －2x 2＋2x ，则f′(x)＝1x－4x ＋2，(2分) 所以f′(1)＝－1.又f(1)＝0，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0.(4分)(2) 证明：因为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1a＋1，设函数g(x)＝lnx －x ＋1， 则g′(x)＝1x －1＝1－x x.(6分) 令g′(x)＝0，得x ＝1，列表如下：所以g(x)的极大值为g(1)＝0.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1a＋1≤0.(8分) (3) 解：f′(x)＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2－ax －1x，x ＞0. 令f′(x)＞0，得a －a 2＋8a 4a ＜x ＜a ＋a 2＋8a 4a. 因为a －a 2＋8a 4a ＜0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ，＋∞上单调递减．所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a .(10分) 设x 0＝a ＋a 2＋8a 4a，因为函数f(x)只有1个零点，而f(1)＝0， 所以1是函数f(x)的唯一零点．当x 0＝1时，f(x)≤f(1)＝0，f(x)有且只有1个零点，此时a ＋a 2＋8a 4a＝1， 解得a ＝1.(12分) 下证，当x 0≠1时，f(x)的零点不唯一．若x 0＞1，则f(x 0)＞f(1)＝0，此时a ＋a 2＋8a 4a ＞1，即0＜a ＜1，则1a ＞1. 由(2)知，f ⎝⎛⎭⎫1a ＜0，又函数f(x)在以x 0和1a为端点的闭区间上的图象不间断， 所以在x 0和1a之间存在f(x)的零点，则f(x)共有2个零点，不符合题意； 若x 0＜1，则f(x 0)＞f(1)＝0，此时a ＋a 2＋8a 4a ＜1，即a ＞1，则0＜1a＜1. 同理可得，在1a和x 0之间存在f(x)的零点，则f(x)共有2个零点，不符合题意． 因此x 0＝1，所以a 的值为1.(16分)高三数学附加题试卷(二)参考答案 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)(苏北四市)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：连结AD ，因为AB 为圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又EF ⊥AB ，∠AFE ＝90°，则A ，D ，E ，F 四点共圆，所以BD·BE ＝BA·BF.(5分)又△ABC ∽△AEF ，即AB·AF ＝AE·AC ，所以BE·BD －AE·AC ＝BA·BF －AB·AF＝AB·(BF －AF)＝AB 2.(10分)B. 解：设椭圆C 上的点(x 1，y 1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，(5分) 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1， 所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1.(10分)C. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3得12ρsin θ＋32ρcos θ＝3，(5分) 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为3x ＋y －6＝0.(10分)D. 证明：因为|x －1|＜c 3，所以|2x －2|＜2c 3， 故|2x ＋y －3|＝|2x －2＋y －1|(5分)≤|2x －2|＋|y －1| ＜2c 3＋c 3＝c ， 故|2x ＋y －3|＜c.(10分)22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD.因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立空间直角坐标系，则由AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)．所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63， 所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1， 所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分)因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45， 所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]， 所以λ的值为1.(10分)25. (1) 解：代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.(3分)(2) 证明：① 当n ＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立．(4分)② 假设当n ＝k 时命题成立，即f(k)＝3k ＋7k －2是8的倍数，那么当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)．因为7k ＋1是偶数，所以4(7k ＋1)是8的倍数．又由归纳假设知3(3k ＋7k －2)是8的倍数，所以f(k ＋1)是8的倍数， 所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据①②知命题对任意n ∈N *成立．(10分)。