定义域和值域的逆向问题
定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。

一、已知定义域求值域
例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=
b a bx a bx a y 的值域。

解：函数式变形为bx a a y -+
-=21，显然y ≠-1 由原函数表达式可得)1()1(+-=
y b y a x 。

又11≤≤-x ，得)
1()1(1+-≤-y b y a 1≤， 解得b
a b a y b a b a -+≤≤+-， 即此函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。

注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。

二、已知值域求定义域
例2 已知函数112--=
x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。

解：由0112≤--x x ，解得12
1<≤x 。

由31
12≥--x x ，解得21≤<x 。

∴此函数的定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠≤≤1221|x x x 且。

注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。

三、已知定义域求解参数问题
例3 已知函数12)1()1()(22++-+-=
a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题意知R x ∈时，01
2)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。

（1）当012=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，
01
2)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。

（2）当012≠-a 时，有⎪⎩
⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a 解不等式组得91≤<a 。

综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是［1，9］。

注：此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。

四、已知值域求解参数问题
例4 已知函数1
222+++=x b ax x y 的值域为［1，3］，求a 、b 的值。

解：由题意知R x ∈，把原函数变形为0)2(2=-+--b y ax x y
当02=-y 时，满足题意
当02≠-y 时，因R x ∈，所以0))(2(42≥---=∆b y y a ，即08)2(4422≤-++-a b y b y 。

因31≤≤y ，所以1和3是方程08)2(4422=-++-a b y b y 的两个实根，由韦达定理解得22=±=b a ，。

注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。

五、已知定义域和值域求解参数问题
例5 已知二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 满足条件)3()5(-=+-x f x f ，
0)2(=f ，且方程x x f =)(有两个相等实根。

问是否存在实数)(n m n m <、，使得)(x f 的定义域为［m ，n ］时，值域为［3m ，3n ］。

如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由。

解：因)3()5(-=+-x f x f ，所以函数)(x f 的图象的对称轴为直线
235-=x =1，可得12=-a b ①
由0)2(=f ，得024=++c b a
② 因方程x x f =)(有两个相等实根，即0)1(2=+-+c x b ax 有相等实根，所以04)1(2=--=∆ac b ③
将①代入②，得0=c 。

由③知，b=1，所以21-
=a 。

则2121)1(2121)(22≤+--=+-
=x x x x f ， 所以213≤n ，即6
1≤n 。

)(x f 在［m ，n ］上单调递增，假设存在满足条件的m 、n ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n n f m m m m f 321)(321)(22 解得⎩
⎨⎧-=-=4040或或n m 又61≤
<n m ，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件。

注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。

练一练：
1. 求下列函数的值域： ①3
4252+-=x x y ；②2312-+=x x y ；③212+-+=x x y 。

2. 求函数)0(≥-=
x x x y 的最大值。

答案： 1. ①]50(，
∈y （提示：1
)1(252+-=x y ，而11)1(22≥+-x ，
所以11)1(2102≤+-<x ，可得51
)1(2502≤+-<x 。

另外，原函数变形为053422=-+-y yx yx ，因R x ∈，
所以0)53(24)4(2≥-⨯--=∆y y y ，
即50052≤≤≤-y y y ，且0≠y ） ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠
∈32|y R y y 且 （提示：)23(3732-+=x y ，而0)
23(37≠-x ，所以32≠y ） ③]4(，
-∞∈y （提示：因4)11(2+---=x y ，所以]4(，
-∞∈y 。

另外，令)0(1≥-=t x t ，则2
1t x -=， 所以)0(4)1(3222≥+--=++-=t t t t y ，也可能]4(，
-∞∈y ） 2. 4
1 （提示：4
1)21(2+
--=x y ，所以，当21=x ，即41=x 时，y 取最大值）。