高中数学专题训练二次函数与幂函数一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>14．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2]6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则( ) A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定二、填空题8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________．9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.10．设函数f1(x)＝x 12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝________.11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．12．已知幂函数f(x)＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．三、解答题14．已知函数f(x)＝2x－x m，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．练习：1．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞)2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋523.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( )A.c a B ．－c a C ．±caD ．无法确定4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或25．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( )A ．0≤a ≤1B ．0≤a ≤2C ．－2≤a ≤0D ．－1≤a ≤0B 组1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________.2．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α、β是方程f (x )＝0的两个根(α<β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．α<a <b <βB ．a <α<β<bC ．a <α<b <βD ．α<a <β<b4．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c5．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ≥0C ．a ≤3D ．a ≤16．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．答案：一、1.A 2 C 3 C 4 C 5 C 6 D 7 B8．解析 由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤19． 9或25 10． 1201011． 大 －312． 3 13． 2<m <52三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减练习；1． D 2. B 3． B 4 C 5 DB 组1． x 2－x ＋12 D 3A 4 B 5A 详析1． A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2． C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－b a<0，不符合，∴选C.3． C解析 类比函数y ＝x 12即可．4． C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5． C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6． D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7． B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B.二、填空题8．解析 由题意知⎩⎨⎧－a ≤0－1≤a ≤1∴0≤a ≤1 9． 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10． 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11． 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0 ∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a ＝－3.12． 313． 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知⎩⎨⎧f 1<0f 2>0⇒2<m <52.三、解答题14 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1. (2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．15． [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a≤2.①当－32≤a<1时，g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4，∴由二次函数图象可知，－94≤g(a)<4.②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2，∴当a＝1时，g(a)min＝4；当a＝2时，g(a)max＝9；∴4≤g(a)≤9.综上所述，g(a)的值域为[－94，9]．练习；1．D解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．B解析∵b>0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a>0，∴a<0.故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.3.B解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|ca|＝－ca(∵a<0，c>0)．4．C解析函数在[1，＋∞)上单增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．5．D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.B组1．x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a ＋b＝2x∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2． D解析 函数f (x )是偶函数，∴a 2－1＝0 当a ＝1时，f (x )为常函数当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D. 3． A解析 设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝g (x )－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a <b <β，故选A.4． B解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋32＝1，所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．5． A解析 令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立．令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1 则f (0)＝1>0(1)当－a －12≤0即a ≥1时恒成立(2)当－a －12>0即a <1时．由Δ＝(a －1)2－4≤0 得－1≤a ≤3 ∴－1≤a <1 综上：a ≥－1. 6． c解析 ∵f (x 2)＝f (x 1)，∴x 2＋x 1＝－b a ，∴f (x 1＋x 2)＝f (－b a)＝c .。