第四章
格林函数法
分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而 傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题， 这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和 无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有 限的积分形式，十分便于理论分析和研究。
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格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
2 1 2 u 1 u 1 u ( r ) (sin ) 0 (4.1.1) 2 2 2 2 2 r r rr sin r sin
求方程(4.1.1)的球对称解uV(r)(即与和无关的解) ,则有：
其通解为：V 为任意常数)。 ( r ) 1 c , ( r 0 , c , c 2 1 2
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
方程的边值问题。
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4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
1 u ( M udS 0) 2 a 4 a 证明： 由调和函数的积分表示：
M 0 是 内任意一点，若 是以 M 0 为中心，a为半径 a
及由性质1，有
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1 1 1 u u ( M ) u () dS 0 a 4 n r r n
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证 如 它
明
图
： 全
)
（
4 . 1
反 , 在
1
证 以 区
) .
M
法
1
） 为
中
假 中 ，
M
设 心 记 ， 在
1
u 在
，
k

内 长 球 面
某
R
点 为 为
S
M
1
达 径 作
到 球 在 由 域
最
k S
R
大
R
值 , 使 有 数 在 的 此
，
任
R
意 的
半
R
完
落 这 是 ， ，
1
性质3 (极值原理)
, y, z) 在区域 设函数 u(x 内调和，
它在 上连续且不为常数，则它的最大值与最小值
只能在边界上达到。 推论1 设在 内有 在 u 0 , v 0 ; u , v
上连续且在边界 上有 uv ，则在 内有 uv .
u0 , (x ,y ,z ) 推论2 Dirichlet问题 的解是唯一的。 u f (x ,y ,z )
将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，u
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u 在边界上的值虽然已知,而 在边界上的值却不知道.那么, n u 能否作为边界条件加上 | 的值呢？显然这是行不通的， n u | 因为,此时的解已经是唯一的了.那么只有想办法去掉 n 为此，引入格林函数的概念。
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1 1 1，所以 2 2 又因为，在 上有 ( ) nr r a a 1 u ( M ) udS . 0 2 a 4 a 上式称为调和函数的球面平均值公式。
பைடு நூலகம்
1 u 1 u dS dS 0 ar a n a n
n
) u (M
， …
径
1
n
d
由 与
后 的 球 的 为
，
N
n
中
小
k
任 常
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u ( N )
到 整
u ( M

)
)

u ( M
u ( M
1
) ,
N
u 不
意 数
性 矛
, 就 盾
上
有
) , 这
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Kn N Mn M 2 K1 M 1 K2 M 3 S1 S2
l
Sn


图 4 .1



选择调和函数v满足 v
1 4 rMM 0
,于是有： (4.2.4)
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1 u ( M ) u ( v ) dS 0 n4 r MM 0
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记
1 G ( M ,M ) v 0 4 r MM 0
(4.2.5)
则有
称 G 为Laplace方程的格林函数。若G 存在 (M ,M (M ,M 0) 0)
偏导数，则由格林第二公式有
v u ( u v ) dS 0 n n
将（4.2.1）和 (4.2.2)两式加起来：
(4.2.2)
v1 1 1 u u ( M ) u [ ( )] ( v ) dS (4.2.3) 0 4 n r 4 r n n MM MM 0 0
1 4 r



uM ( ) F ( )
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0 F ( )
1 uM ( ) F ( ) d V 0 4 r M M 0
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4.2.1 格林函数的定义
设在 内有 在 上有一阶连续 u 0 , v 0 ; u , v
L
d ，
以
小
数
M
则 的 数 , 于
在 交 为
K
点 半 次
上 ， 径
u ( M
u ( M
) 。
1
设
) 。
是
M
2
K
为
1
球 心 为
u ( N
S
以 心
1
与 小 , 半
折 于
1
线
u ( M
u ( M
以 在 以
d 的
)

内 一 内
作 定 , 因
球 包 而 得 .
k
含
2
， 在
k
某 个
2
上 点
u (M ) u (M
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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4.1.3 调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
，于是有 u0 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 定理：若函数 内调和，则
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若函数
uF，则同样有 内满足Poisson方程
上有一阶连续偏导数，且在 在 u
1 F 1 1 1 u ( M ) ( M ) u ( M ) u ( M )( ) dS dV 0 4 n r r n MM MM MM 0 0 0 4 r
v v v 令P u , Q u , R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n
格林函数的物理背景
原点处点电荷电量 0 ， 点电荷密度0r
M (x, y, z) 处点电位 u ( M )
M
0
2u
2 u ( M ) r
0
r r (x 0 0, y 0, z 0) 即 r 0 处点电荷电量 0 点电荷密度 0 1 2 M (x, y, z) 处点电位 u(M) u ( M ) r r 0 4 rMM0 F 1 2 u(M) u ( M ) F r r M1 F r r 1 1 10 1 4 rMM1 F 2 2 u ( M ) M2 u ( M ) F r r F r r 2 2 20 2 4 rMM2 F F 1 2 2 4r u ( M ) F r r F r r 2 2 1 1 4 rMM2 M M 1


4.1.4 调和函数的性质
内的调和函数，它在 , y, z) 是区域 性质1. 设 u(x u dS 0 , 其中 , n 上有一阶连续偏导数，则 n 是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。 注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
u v u v u v u v udV ( ) dV v dS x x y y z z n
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
v u ( u v v u ) dV ( u v) dS n n
2 2 u 1 u 1 u 2 2 0 2 r r r r
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 uV(r)(即与 无关的解) ,则有：
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
1 若取 c ,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace 1 ,c 0 1 2 r