的解如果存在, 必可以表示为
uM0
f
u
v
1
n 4
1 n rM0M
dS
u
n
4
1 rM 0M
v dS
令 GM , M0 4
1 v, 则
rM0M
uM 0
u
GdS n
GM , M 0 称为拉普拉斯方程的格林函数.
如果能找到格林函数中的 v , 并且它在
上有一阶连续偏导数，
则狄利克雷问题 2u 0, u
u | f
格林公式中取 u 为上述调和函数, v 1 , 则
有解的必un要dS条件0.为所函以数紐曼满f内足问题(
u n
|)有f
fdS 0
事实上, 这也是紐曼内问题有解的充分条件.
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u1 , u2 是定解问题的两个解，则它们的
差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的
(u2v v2u)dV
(u
v n
v
u n
)dS
可得
v u
(u
n
v
n
)dS
0
与
u
M
0
1
4
u
M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n
dS
相加得
u M0
u
v
n
1
4
1 n rM0M
1
4
rM
0M
v
u n
dS
如果能找到调和函数 那么上式意味着
v
,
使得
v
|
4
1
rM0M
,
uM0
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u ux, y, z 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 0,
x2 y 2 z 2 描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
2u 0
不存在初始条件.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
故在 内必有 grad v 0 , 即
v v v 0 x y z
可得 v C ，其中C为常数.
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C 0
从而 v 0 .
结论 狄利克雷问题在 C1 C2
内的解是唯一确定的, 紐曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
3) 调和函数的积分表达式
dS
4u4来自u n0令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
u n
0
于是
uM0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4)平均值公式
设函数 uM 在某区域 内是调和函数,
M 0 是 内任一点, Ka 表示以 M 0 为中
心, a 为半径且完全落在 内的球面,
dV
u x
v x
u y
v y
u z
v z
dV
u
2v x 2
2v y 2
2v z 2
dV
gradu grad v dV u2vdV
所以
u2vdV
u
v n
dS
grad u grad v
dV
第一格林公式
u2vdV
u
v n
dS
grad u grad v
dV
第一格林公式
除点 M 0 外处处满足拉
普拉斯方程, 它称为三维拉普拉斯方程的
基本解.
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0
的球形邻域 K， 是其球面。
1
在区域 K 内及其边界 是任意可导的。
上，
v
r
在第二格林公式中, 取 为u 调和函数, 并假
定它在 上有一阶连续偏导数, 而取 ,
在区v 域1
上应用公 式K 得
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和 函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在 内任一点的值.
设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内一固定点, 下面求调
和函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
v1
1
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
可以证明函数
1 r
交换 u, v 的位置, 有
v2udV
v
u n
dS
grad v grad u
dV
两式相减, 得
(u2v v2u)dV
(u v v u )dS n n
第二格林公式
1) 紐曼内问题有解的必要条件
设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函
数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二
则有
u M0
1
4 a2
Ka
udS
4.3 格林函数 调和函数的积分表达式
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设u, v为内的调和函数,并且在 上 有一阶连续偏导数, 利用第二格林公式
解。对于狄利克雷问题， v 满足
2v 0, v v | 0
对于紐曼问题, v 满足
2v 0,
v n
|
0
v
在第一格林公式中取 u v u1 u2 , 由 v 是
调和函数，可得
0
v
v n
dS
grad v grad v
dV
在两个边界条件下，都有
v
v
n
dS
0
所以
2
grad v dV 0.
P cos n,
x
Qcosn,
y
R cosn,
z dS
其中n 为 的外法向量。
高斯公式可简记为
adV
a
ndS
设 u ux, y, z,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
令 Px, y, z u v Qx, y, z u v Rx, y, z u v
r
K
u2
1 r
1 r
2u
dV
u
1 r
n
1 r
u n
dS
在球面 上,
1/ r 1/ r 1 1
n r r2 2
因此
u
1/ r
r
dS
1
2
udS
1
2
u 4 2
4 u
同理可得
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
我们可得
u
n
1 r
1 r
u n
x
y
z
则 P,Q, R C C1
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
u
v x
cosn,
x
v y
cosn,
y
v z
c
osn,
z
dS
u v dS n
等式左端
P x
Q y
R z
dV
u x
v x
u
2v x 2
dV
u v 2v
y y u y 2 dV
u z
v z
u
2v z 2
狄利克雷(Direchlet)问题
2)第二边值问题
u 0 ()
u f n
纽曼(Neumann)问题
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区
域，Px, y, z， Qx, y, z ,Rx, y, z 在闭域 上连
续,在 内有一阶连续偏导数，则
P x
Q y
R z
dV