二阶电路的动态响应实验报告一、实验目的：
1.学习用实验的方法来研究二阶动态电路的响应。

2.研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响。

3.研究欠阻尼时，元件参数对α和固有频率的影响。

4.研究RLC串联电路所对应的二阶微分方程的解与元件参数的关系。

二、实验原理：
图1.1 RLC串联二阶电路
用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。

图1.1所示的线性RLC串联电路是一个典型的二阶电路。

可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：
s
2
U
2
=
+
+
c
c
c u
dt
du
RC
dt
u
d
LC（1-1）初始值为
C
I
C
i
dt
t
du
U
u
L
t
c
c
)
0(
)(
)
0(
=
=
=
-
=
-
-
求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c(t)。

再根据：
dt
du
c
t
i c
c
=
)(可求得i c(t)，即回路电流i L(t)。

式（1-1）的特征方程为：0
1
p
p2=
+
+RC
LC
特征值为
：
2
0222,11)2(2p ωαα-±-=-±-
=LC
L R L R (1-2)
定义：衰减系数（阻尼系数）L
R 2=
α 自由振荡角频率（固有频率）LC
1
0=
ω 由式1-2 可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。

1． 零输入响应
动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。

电路如图1.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。

图1.2 RLC 串联零输入电路
(1) C
L
R 2
>，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。

电路响应为：
)
()
()()
()(2
1
2
1
120
121
20
t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---=
--=
图1.3 RLC 串联零输入瞬态分析
响应曲线如图1.3所示。

可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，为非振荡的
过渡过程。

整个放电过程中电流为正值， 且当2
11
2ln
P P P P t m -=时，电流有极大值。

（2）C
L
R 2
=，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。

电路响应为
t
t c te L
U
t i e t U t u ααα--=+=00)()1()( t ≥0
响应曲线如图1.3所示。

(3) C
L
R 2
<，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况。

电路响应为
t e L
U t i t e U t u d t
d d t d
C ωωβωωωααsin )(),
sin()(000
--=
+==t ≥0
其中衰减振荡角频率 2
2
2
0d 2L R LC 1⎪⎭⎫
⎝⎛-=
-=αωω ， α
ωβd arctan = 响应曲线如图1.3所示。

图1.3 二阶电路零输入响应
（4）当R ＝０时，响应是等幅振荡性的，称为无阻尼情况。

电路响应为
t
L
U t i t
U t u C 000
00sin )(cos )(ωωω== 响应曲线如图1.6所示。

理想情况下，电压、电流是一组相位互差90度的曲线，由于无能耗，所以为等幅振荡。

等幅振荡角频率即为自由振荡角频率0ω，
注：在无源网络中，由于有导线、电感的直流电阻和电容器的介质损耗存在，R 不可能为零,故实验中不可能出现等幅振荡。

过阻尼 临界阻尼 欠阻尼
2．零状态响应
动态电路的初始储能为零，由外施激励引起的电路响应，称为零输入响应。

电路如图1.4所示，设电容已经放电，其电压为0V，电感的初始电流为0。

图1.4 RLC串联零状态电路
根据方程1-1，电路零状态响应的表达式为：
)
(
)
(
)t(
)t(
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
t
p
t p
S
t
p
t p
S
S
C
e
e
p
p
L
U
i
e
p
e
p
p
p
U
U
u
-
-
-
=
-
-
-
=）
（
t≥
与零输入响应相类似，电压、电流的变化规律取决于电路结构、电路参数，可以分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等三种充电过程。

响应曲线如图1.5所示。

图1.5 二阶电路零状态响应
3．全响应
动态电路的初始储能不为零，和外施激励一起引起的电路响应，称为全响应。

欠阻尼
临界阻尼
过阻尼
电路如图1.6所示，设电容已经充电，其电压为5V
，电压源电压10V 。

图1.6 RLC 串联全响应电路
响应曲线如图1.7所示。

图1.7 二阶电路全响应
4．状态轨迹
对于图1.1所示电路，也可以用两个一阶方程的联立（即状态方程）来求解：
L U L t Ri L t u dt
t di C
t i dt t du s
L C L L c ---==)()()
()
()( 初始值为
)0()0(I i U u L c ==--
其中，)(t u c 和)(t i L 为状态变量，对于所有t ≥0的不同时刻，由状态变量在状态平面上所确定的点的集合，就叫做状态轨迹。

三、实验设备与器件
欠阻尼
临界阻尼
过阻尼
1.低频信号发生器
2.交流毫伏表
3.双踪示波器
4.万用表
5.可变电阻
6.电阻、电感、电容 (电阻100Ω,电感10mH, 电容47nF)，可变电阻（5kΩ）。

四、实验内容（multisim仿真）
1.按图1.8所示电路接线（R1=100ΩL=10mH C=47nF）
画出仿真图，如下，调节R2阻值，使电容两端电压分别出现欠阻尼、临界阻尼、过阻尼状态。

仿真图
图1.8 二阶电路实验接线图
欠阻尼状态
临界阻尼状态
过阻尼状态
2.在电路板上按图1.8焊接实验电路。

实际测量值：R1=97.8Ω，C1=42.2nF，（R L1=54.3Ω）
波形R L C 震荡周期T d第一波峰峰值h1第二波峰峰值h2
97.8 10m 42.2
n 150μs
2.2V 0.2V
理论值测量值
震荡衰减角频率ωd46076.57 41887.90
衰减系数α5200 15985.96 六.实验结论分析与总结
在欠阻尼状态下.
R增大，ωd不变，α减小
L增大，ωd减小，α减小
C增大，ωd减小，α不变。