特征根为
S1;2
R 2L
( R )2 1 2L LC
特征根S1、S2由电路本身的参数R、L、C的数值确定，根 据R、L、C数值不同，特征根可能出现以下三种情况：
（1）当R >2 负实根；
L（即 C
R 2L
2）时L1C，S1、S2为两个不等的
（2）当R <2 L（即
C
负的共轭复根；
R ）2 时1，S1、S2为一对实部为 2L LC
uC (0 ) uC (0 ) K1 U0
iL (0 )
iL (0 )
C
duc dt
t0
C( K1
d K2)
0
K1 U0
K2
U0 d
uC
(t
)
et
(U
o
cos
d
t
U0 d
sin
d
t)
uC
(t)
0 d
U 0e t
cos( d t
)
arctg d
、d、o、的关系可表示为
电路中其它响应：
（3）当R =2 L（即
C
负实根；
R ）2 时1，S1、S2为一对相等的 2L LC
一、过阻尼情况 (R 2 L ) C
此时S1、S2为不相等的负实根 ，即有
S1
R 2L
R
2
2L
1 LC
1
S2
R 2L
R 2 2L
1 LC
2
对应的齐次方程的解为
t 0 uC (t) A1eS1t A2eS2t A1e1t A2e2t
i(t) C
duC dt
02CU0 d
et sin dt
uL (t)
L
di dt
0 d
U 0e t cos( d t
)
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
0
d
衰减uC，(t)、称ei为(t)响衰、t 应减uL有系(t衰)数减，振d荡是的振特荡性的，角其频振率荡。幅度按指数规律
U0(t
1)et
t 0 t 0
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
其能量转换过程与过阻尼情况相同，电路响应呈振荡状态
与非振荡状态的分界线，故称之为临界振荡情况，R称为临
界电阻。
综上所述，RLC串联零输入电路中，随着电阻R从大到小变
化，电路工作状态从过阻尼，临界阻尼到欠阻尼变化，直至
0称为自由振荡频率。由于电路中没有能量损耗，故电容与电 感间不断进行电场能量与磁场能量的交换。振荡一旦形成，就 一直持续下来，永不消失。
二、临界阻尼情况 (R 2 L ) C
此时S1、S2为相等的负实根 ，即有
S1
S2
R 2L
对应的齐次方程的解为
uC (t) A1es1t A2teS2t A1et A2tet
et ( A1e jdt A2e jdt ) 应用欧拉公式 e jx cos x j sin x ，上式可表示为
uC (t) et (A1 A2) cosdt j(A1 A2)sindt
uC (t) et (K1 cosdt K2 sin dt)
Ket cos(dt )
待定常数K1，K2，或K，由初始条件确定。
1e2t )
电路中其它响应：
i(t) C duC CU012 (e2t e1t ) dt 2 1
uL (t)
L
di dt
CL U012 2 1
( 2e 2t
e1t 1
)
t 0 t 0
i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
由于这种情况下，电路中电阻较大，RLC电路无法形成 振荡，因此称为过阻尼情况
uL uR uC 0
i ＋uR－＋ uL－
R
L
由元件伏安关系得： i C duC
K (t=0)
dt
uR
Ri
RC
duC dt
uL
L
di dt
LC
d 2uC dt 2
C
＋ uC
－
或 特征方程为
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
0
S2 RS 1 0 L LC
R=0为无阻尼状态。其工作状态仅取决于电路的固有频率S1、
S2，而与初始条件无关。 过阻尼的响应公式：
t 0 uC (t) A1eS1t A2eS2t A1e1t A2e2t
临界阻尼的响应公式：
t 0 uC (t) A1es1t A2teS2t A1et A2tet
欠阻尼的响应公式：
第5章 二阶动态电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应 5-2 RLC串联电路的全响应 5-3 GCL并联电路的分析 5-4 一般二阶电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
电路如图所示，设uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0时，开关
K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：
uC (t) et (K1 cosdt K2 sindt) t 0
[例5-1] 电路如图所示。R=1Ω，L=1H，C=1F。换路前，
电路uC处(于t)及 稳态i(t。) uC (0 ) 1V,i(。0求) 零 1输A入响应
。
解：首先求电路的固有频率
R=0是欠阻尼的特例。此时
R 0
2L
d 0
1 LC
uC (t) U0 cosdt U0 cos0t
i(t) 0CU0 sindt 0CU0 sin0t uL (t) U0 cosdt U0 cos0t
R＝0时，i(t),uC (t),uL (t) 的波形曲线
可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，
待定常数A1，A2由初始条件确定。
uC (0 ) uC (0 ) A1 U0
iL (0 )
iL (0 )
C
duC dt
t0
0
A1
A2
0
A1 U0 A2 U0
uC (t) U0et (1 t) t 0
电路中其它响应：
i(t) C duC dt
2CUOtet
uL (t)
L
di dt
二、欠阻尼情况 (R 2 L ) C
此时，S1，S2为一对共轭复根，即
S1,2
R 2L
j
1
R
2
LC 2L
jd
R 2L
,
d
1 LC
R 2L
2
02 2 (令0
1) LC
对应的齐次方程的解为:
uC (t) A1eS1t A2eS2t
A e( jd )t 1
A e( jd )t 2
常数A1和A2由初始条件确
定
uC (0 ) uC (0 ) A1 A2 U0
iL (0 ) iL (0 ) C
duC dt
t0
1A1C 2 A2C
0
联立求解，得：
A1
2 2 1
U0
A2
1 2 1
U0
uC
(t)
2 2 1
U 0e1t
1 2 1
U
e2t
0
U0
2 1
( 2 e1t