椭圆的焦点弦长公式
θ
2
2
2
2
21cos 2c a ab
F F -=
及其应用
在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：
若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、
短半轴长和焦半距，则有θ
2
2
2
2
21cos 2c a ab
F F -=。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？
分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦
点弦长公式θ
2
2
2
2
21cos 2c a ab
F F -=
及题设可得：
24c o s 816)22(422
2
=-⨯⨯α
，解得
αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，
直线l 通过点F ，且倾斜角为3
π
，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5
16，求椭圆E 的
方程。

分析：由题意可设椭圆E 的方程为
1)1()
3(2
2
2
2
=-+
--b
y a
c x ，又椭圆E 相应于F 的准线
为Y 轴，故有
32
+=c c
a
（1）， 又由焦点弦长公式有
3
cos
22
2
2
2
πc a ab
-=
5
16 （2）
又 222c b a += （3）。

解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32
=b ，1=c ，
从而所求椭圆E 的方程为
13
)
1(4)
4(2
2
=-+
-y x 。

例3、已知椭圆C ：
12
22
2=+
b
y a
x
（0>>b a ），直线1l ：
1=-
b
y a
x 被椭圆C 截得的
弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5
2，
求椭圆C 的方程。

分析：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ， （1）又由焦点弦长公式得
θ
2
2
2
2
cos 2c a ab
-=
5
4a ， （2） 因tan θ=3，得3
π
θ=
，（3）
又 222c b a += （4）。

解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：62=a ，22=b ，
从而所求椭圆E 的方程为12
6
2
2
=+
y
x。