《初等数论》教学大纲
Elementary number theory
一、本大纲适用专业
数学与应用数学。

二、课程性质与目的
1. 课程目标
初等数论是数学与应用数学专业一门专业选修课。

通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除、不定方程、同余、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的实际工作打下良好基础。

2. 与其它课程的关系
本课程是初等数学研究、C语言程序设计A，近世代数等课程的后续课程。

3. 开设学期
按培养方案规定的学期开设。

三、教学方式及学时分配
四、教学内容、重点
第一章整数的可除性
1. 教学目标
理解整数整除的概念、最大公约数的概念、最小公倍数的概念，掌握带余除法与辗转相除法；理解素数与合数的概念；理解和掌握素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；掌握函数[x]和 {x} 的性质。

2. 教学内容
（1）整数整除、剩余定理：带余除法与辗转相除法；最大公约数的概念、性质及求最大公约数的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。

（2）素数与合数：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；函数[x] {x} 的性质及其应用。

3. 教学方法
讲解教学。

4. 本章重点
辗转相除法，整数的素数分解定理。

5. 本章难点
求最大公因子的方法。

第二章不定方程
1. 教学目标
理解不定方程的概念，理解和掌握元不定方程有整数解的条件，会求一次不定方程的解。

2. 教学内容
（1）一次不定方程，多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解条件，求简单的多元一次不定方程的解。

（2）二元一次不定方程有整数解的条件，求一次不定方程的解。

3. 教学方法
讲解教学。

4. 本章重点
多元一次不定方程有解条件，二元一次不定方程有整数解的条件。

5. 本章难点
不定方程的整数解的形式，求多元不定方程的整数解。

第三章同余、同余式
1. 教学目标
理解整数同余的概念，理解和掌握同余的基本性质、整数具有素因子的条件函数相关性质；理解剩余类与完全剩余系的概念，理解欧拉函数的定义及性质；掌握欧拉定理、费马定理、孙子定理。

2. 教学内容
（1）整数同余：整数同余的概念、同余的基本性质；整数具有素因子的条件；利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

（2）剩余类与完全剩余系：剩余类与完全剩余系的概念；判断剩余系的方法；欧拉函数的定义及性质；欧拉定理、费马定理。

（3）同余式的基本概念、孙子定理。

3. 教学方法
讲解教学。

4. 本章重点
剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理。

5. 本章难点
判断剩余系的方法，费马定理。

第四章二次剩余式与平方剩余
1. 教学目标
理解二次同余的概念，理解平方剩余与平方非剩余；理解和掌握勒让得符号的计算与应用。

2. 教学内容
（1）二次同余的概念与判定，单质数的平方剩余与平方非剩余。

（2）勒让得符号。

3. 教学方法
讲解教学。

4. 本章重点
勒让得符号的计算与应用。

5. 本章难点
勒让得符号的计算。

五、成绩考核
1. 考核方式
考查
2. 考核要求
考查以闭卷形式进行，占80%，平时作业和课堂考勤占20%。

六、教材和主要参考书目
1. 教材
[1] 闵嗣鹤、严士健, 《初等述论》(第二版), 高等教育出版社，2003年。

[2] 冯登国，裴定一，《密码学引论》，科学出版社，北京，1999年。

2. 主要参考书
[1] 潘承洞，潘承彪，《简明数论》，北京大学出版社，1998年。

[2] 卢开澄，《计算机密码学》（第2版），清华大学出版社，1998年。

[3] 钟诚，赵跃华等，《信息安全概论》，武汉理工大学出版社, 2003年。