n
lim xn a
x n a ( n ).
a 收敛数列 lim xn 发散数列 n a
n { 2 } 无穷发散
振荡发散 {sin n}
( 1)n1 lim 1 1 n n
xn 1 ( n ).
当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于 某一确定的数值 a 如何用数学语言描述?
ln a , 若a 1, 只要 a 1 , a 1 , 即 : n ln(1 ) 0 a 1 ln a ], 取 N1 [ ln(1 ) 若0 a 1, 只要 1 n a , n a 1 , 即 : n ln a , ln(1 ) 0 1 a ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
1 任意给定 0, 只要 n N 时, 有 x n 1 成立 .
则只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。
n N

确保
xn 1
当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值 a ? 如果是, 如何用数学语言描述?
第一章
函数与极限
§1.1 函数 §1.2 极限
§1.2 极限 一、数列的极限 二、函数的极限 …
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义
数列的几何意义.
数列是整标函数
数列的单调性. 数列的有界性.
xn f ( n) ( n ).
3、数列的极限
{ xn } n , xn a (cons .) 称a为数列{ xn }的极限.
， N , n， x n 是 __ 量 。
6）几何意义。 7）数列极限的等价定义：
0若在U(a , )之外数列 xn 至多只有有限项，则称数列 xn 收敛于极限a .
lim xn a 0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
> 1+ nn a 1 得 n . n
n
a 1 n,
(2) 设 a > 1, … >0,
n
令 n a 1 n ( n 0),
a1 , n
a 1 n
a 1 a 1 要使 a 1 , 只须 , 即n 即可. n
n
1 证明 lim .0. n n
n 证明 lim 1. n n 1
证明 lim C C .
n
证明 lim q n 0. q 1.
n
lim
n
n
a
1 , 其 中 a 0.
练习5 设x n 0, 且 lim x n a 0, 求证 lim x n a .
3 确 定 a是 xn 的 极 限
o
练习2 证明 lim
n
n2
n 1
2
2
1.
2 n 1
∵ xn 1
n2
n 1
1
n 1
2

2 2 2 n 1 ( n 1) n 1
2n 1
2n 2
2 , 0, 要 x n 1 , 只要 n1 2 取N [ 1], 当n N时 , 有
ln a 即: n , ln(1 )
ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
就有 a 1 ,
n

lim n a 1.
n
（P23
LT4）
例4
证明 lim
n
n
a 1, 其中 a 0.
n
证： 0,
要使
n
a 1 ,
n
a 1 . 0 a 1, a 1,
就有
n
a 1 ,
lim n a 1.
n
另证例4.
证明 lim n a 1. 其中a 0为常数.
n
证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立. (2) 设 a > 1, 令 n a 1 n ( n 0), 从而
1 2 2 n n a (1 n )n 1 C n n Cn n ... C n n
x
当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限
lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
3、数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那么就称常数 a 是{xn} 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
1 ( n 1)
2
,
n
1

1 1
1 , 2 n 1 , n
n

1 n
例2
证明 lim C C .
n
（P22
LT2）
0,
xn C C C 0 ,
n N , 都有 C C 成立
例3
证明 lim q n 0 q 1. （P22
若a 1, 只要 a 1 ,
ln a ], 取 N1 [ ln(1 )
n
ln a , a 1 , 即 : n ln(1 )
a 1 0 a 1
n
若0 a 1, 只要 1 a ,
ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 1 , 1000 1000
1 1 , 给定 , 只要 n 10000 时 , 有 x n 1 10000 10000
引入符号 N 和 来刻化
引入符号 N 和 来刻化无限增大和无限接近!
( 1)n1 xn 1 n
2 2 n n6 取N [ ], 当n N时 , 就有 1 2 n 5
注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要
不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小).
练习4 证明 lim
1
n
n 1
2
0.
1
n 1
2
0
n
LT3）
证明 (1) q 0 . (2) 0< q 1.
lg N [ ], lg q
0 q , n 要 xn 0 q ,
lg q lg ,
n
n lg q lg lg n lg q
例4 证:
证明 lim
n
n
a 1, 其中 a 0.
n
a 1 取N ,则 当 n N时 ,有
n
a 1 .
故
lim
n
n
a 1
( 其 中 a 1).
1 (3) 设 0 < a < 1, 则 1, 由(2)知 a 1 n lim 1 <=> > 0, N, 当n>N时, 有 n a

n2
n 1
2
1
成立，故命题得证.
练习3 证明 lim 证 ∵ xn 1
n2 n 6 n 5
2
பைடு நூலகம்
1.
n

n2 n 6 n2 5
1
n1 n2 5

n n n2
2 n
0, 要 x n 1 ,
2 只要 , n
刻化两个数的接近程度: 绝对值

1 ( 1) n1 n 1 1 xn 1 1 1 ( 1) n n n
( 1)n1 xn 1 n
1 1 1 1 , 给定 ,由 , 只要 n 100 时, 有 x n 1 100 100 n 100
n n 1 n 2
lim n a 1. a 0.
n
b 1 (b 1)(b
n
b
... b 1)
a 1 n a 1.

( n a 1)[( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1] ( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1
n

lim xn a
lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
1) 的绝对任意性和相对固定性。
2）N ( ) 的相应性（和不唯一性）。
3）xn a 的多样性。
4）n是大于N的所有自然数。
5） a 是 数 列 x n 的 极 限 ， 是 __ 量
即
另证例4.
n
1 1 . a
n
a 1
n
a
.

n
a 1 n a . (因 0 < a < 1)
n
lim
n
a 1.
(0 a 1).
综合（1、2、3）得
lim
n
n
a 1.
( a 0).
(2) 设 a > 1, … 还可以 用有理化的方法.
不等式 x n a 刻划了 x n与a的无限接近 ;
N与任意给定的正数 有关 .